5. 最长回文子串

题目链接：5. 最长回文子串
题目内容：
题目就是要我们找s中的回文子串，还要是最长的。其实想想，暴力求解也行……就是遍历所有的子串，同时判断是不是回文串，是的话再和记录的最大长度maxlen比较，如果更长就更新。时间复杂度直接变成O(n^3)。

动态规划

优化的点在于，假设子串s[i~j]已经不是回文串了，s[i-1~j+1]也不是回文串，就不用再去判断是否是回文串了。用动态规划求解，dp[i][j]为true或者false，表示s[i~j]子串是or不是回文串，dp更新过程：

• dp[i][j] = true需要dp[i+1][j-1] = true同时s[i] = s[j]；【注意i+1 >= j-1】
• 如果dp[i+1][j-1] = false，dp[i][j]直接为false；
• 如果s[i] != s[j]，直接false；
• dp[i][i] = true；
  代码实现（C++）：

class Solution {
public:string longestPalindrome(string s) {int n = s.size();//如果s是空或者只有一个字符直接返回s，本身就是回文串if(n < 2)return s;//dp记录s所有子串是否是回文串vector<vector<bool>> dp(n,vector<bool>(n));//单字符子串s[i]是回文串for(int i = 0; i < n ; i++)dp[i][i] = true;//记录目前最长的子串长度和开始的下标int maxLen = 1, idx = 0;//L是子串的长度，按照长度来找子串for(int L = 2; L <= n; L++){//子串开始下标for(int begin = 0; begin <= n-L; begin++){//子串结束下标int end = L - 1 + begin;//判断当前子串是否是回文子串if(s[begin] != s[end])dp[begin][end] = false;else{if(L <= 3)dp[begin][end] = true;elsedp[begin][end] = dp[begin+1][end-1];}//如果当前子串是回文子串，其长度和maxlen对比if(dp[begin][end] && L > maxLen){maxLen = L;idx = begin;}}}//返回最长回文子串return s.substr(idx, maxLen);}
};

动态规划也是判断所有子串是否是回文串，但是相较于暴力求解，用dp来存储每个子串是否是回文串，一个子串s[i~j]是否是回文串可以直接通过dp[i+1][j-1]得到，时间复杂度是O(1)，因此整体时间复杂度是O(n^2)。同时dp需要额外的空间，空间复杂度是O(n^2)。
注意上述遍历子串，最外层是通过子串长度来控制的，如果外层是子串开始下标begin，内层是子串结束下标end，dp[begin][end]根据dp[begin+1][end-1]决定是true还是false，需要先有dp[begin+1][end-1]，即dp[begin+1]这一行要先求得值，begin要从大到小：

//注意begin从大到小，从后往前
for(int begin = n - 2; begin >= 0; begin --){for(int end = begin + 1; end < n; end ++){if(s[begin] != s[end])dp[begin][end] = false;else{if(end - begin < 3)dp[begin][end] = true;elsedp[begin][end] = dp[begin+1][end-1];}if(dp[begin][end] && end - begin + 1 > maxLen){maxLen = end - begin + 1;idx = begin;}}
}

中心扩展算法

动态规划需要dp来存储所有子串是否是回文串，其实是并不需要的。如果以一个字符串作为中心，然后朝两边扩展，s[i~j]变成s[i-1~j+1]，s[i-1~j+1]是否是回文串直接依赖于s[i~j]的，如果s[i~j]不是回文串了，再朝两边扩展是没有意义的。这样减少了部分子串的判断，同时减少了dp这个二维数组。当s[i~j]不能朝两边扩展的时候，当前的s[i~j]就是以某个字符为中心的最长的回文子串，此时与maxlen比较，判断是否更新maxlen即可。
这样的中心就是s中的n个字符。但是需要注意的是，如果只是以这个字符作为中心，从s[i~i]开始，，遍历的永远都是长度为奇数的子串。还需要遍历长度为偶数的子串，即从s[i~i+1]这样的子串开始。代码如下（C++）：

class Solution {
public://查找以一个字符或者两个字符为中心的最长回文子串pair<int, int> expandAroundCenter(const string& s, int left, int right) {while (left >= 0 && right < s.size() && s[left] == s[right]) {--left;++right;}//返回左右下标return {left + 1, right - 1};}string longestPalindrome(string s) {int start = 0, end = 0;//所有字符都作为中心字符去查找最长的回文子串for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {auto [left1, right1] = expandAroundCenter(s, i, i);auto [left2, right2] = expandAroundCenter(s, i, i + 1);//更新if (right1 - left1 > end - start) {start = left1;end = right1;}//更新if (right2 - left2 > end - start) {start = left2;end = right2;}}return s.substr(start, end - start + 1);}
};

这里时间复杂度也是O(n^2)，但是提交的时候运行时间，比动态规划少了20倍……

214. 最短回文串

题目链接：214. 最短回文串
题目内容：

题目的意思是要在字符串s的前面添加字符（字符数量≥1，可以说是加一个字符串s’），添加字符的目的是为了让s变成一个回文串。 另外需要最终的s’+s是所有答案中的最短的，也就是要添加的s’最短。
要使得s’+s是回文串很简单，直接把s的逆序加在s的前面，肯定是个回文串；或者把s第一个字符后的子串逆序加在s前，也肯定是回文串，是以s首字符为回文中心的。

上面的方法是可以得到回文串的，但是要怎么样才能使得最终的回文串更短呢。
回文串有一个回文中心，回文中心两边是长度相等的、一段的逆序与另外一段完全相同的两段子串。现在在s的前面加一些字符能够使得s’+s是回文串，那么反过来想，删除s中末尾一段与s’的逆序相同的子串，剩下的子串也是回文串。 所以只要能够在s中找到一段以s首字符开始的最长的回文串，就能保证在此基础上，将s中除这个回文子串剩下的子串，逆序加在s前面得到的回文串是最短的。
那么我们要怎么寻找s中是回文的前缀呢？假设这个回文子串是s1，s除s1外的子串s-s1用s2表示，s^是s的逆序（反转）后的字符串，s1在s^中其实就是后缀，由于s1是回文串，所以s1 = reverse(s1)。所以把s^看作是查找串，s看作是模式串，两者其做字符串匹配，用kmp算法，最终当s^遍历到最后一个字符的时候，s是第i个字符，那么0~i这段子串就是s1，即最长的前缀回文串：

整体解题步骤是：

• 找s1：s反转后的字符串s^作为查找串，s作为模式串，用kmp算法去做字符串匹配；算法结束的时，即遍历到s^最后一个字符时，对应s中第i个字符，0~i即为查找的最长前缀回文串；
• 将s-s1反转，并加在s前面，即得到了答案；
  代码实现（C++）：

class Solution {
public:int strStr(string haystack, string needle) {int n = needle.size();vector<int>  next(n, 0);//next数组中存的是对应下标处子串【包括下标位置】的最长前后缀的长度for(int i = 1; i < n; i++){int j = next[i-1];while(j>0 && needle[j] != needle[i])j = next[j-1];if(needle[i] == needle[j])j++;next[i] = j;}int pos = 0, j = 0;while(pos < haystack.size()){while(j>0 && haystack[pos] != needle[j])j = next[j-1];if(haystack[pos] == needle[j]){pos++;j++;} elsepos++;                  }//循环结束时，pos=haystack.size(), j对应子串长度，而不是结束下标，下标为j-1return j;}string shortestPalindrome(string s) {//s为空或者只有一个字符的时候，直接返回if(s.empty() || s.size() == 1)return s;string re_s = s;reverse(re_s.begin(),re_s.end()); //得到s的逆序re_s//idx其实是前缀回文子串s1的长度int idx = strStr(re_s,s);//即s一整个是回文串if(idx == s.size())return s;//反转s2，实际就是re_s前面一截，并加在s前面return re_s.substr(0, s.size() - idx) + s;}
};

这道题目在找s中最长前缀回文串的时候，没有使用上面题目的动态规划，是因为本题很明确，这个回文串是s的前缀，是从s第一个字符开始的子串。而要找s的最长回文子串，这个子串开始的位置是不知道的。
另外，如果题目换成在s的后面加上s’，使得s+s’是最短回文串，同样的方法，不过kmp的时候，s是查找串，s^是模式串。

336. 回文对

题目链接：336. 回文对
题目内容：

理解题意，是要在words中找到两个字符串words[i]、words[j]，使得words[i] + words[j]是回文串。这题目不是和上面题目很像嘛！可以分情况讨论：

• words[i]和words[j]互为对方的逆序，比如words[i] = “abcd”，words[j] =“dcba”，那么words[i] + words[j]和words[j] + words[i]都是回文的；
• words[i]前缀本身是回文，words[j]是words[i]以回文前缀下标结束点m为开始的后缀的逆序，那么words[j] + words[i]是回文的；比如words[i] = “abcbadef”，words[j] = “fed"或者"fed”；
• words[i]后缀本身是回文，words[j]是words[i]中回文后缀下标开始点m为结束的前缀的逆序，那么words[i] + words[j]是回文的；比如words[i] = “defabcba”，words[j] = “fed”；

还没做，代码待更……