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题目描述与示例

题目描述

攀登者喜欢寻找各种地图，并且尝试攀登到最高的山峰。

地图表示为一维数组，数组的索引代表水平位置，数组的高度代表相对海拔高度。其中数组元素 0 代表地面。

例如[0,1,2,4,3,1,0,0,1,2,3,1,2,1,0]， 代表如下图所示的地图。，地图中有两个山脉位置分别为 1,2,3,4,5和8,9,10,11,12,13，最高峰高度分别为4,3。最高峰位置分别为3,10。

一个山脉可能有多座山峰（高度大于相邻位置的高度，或在地图边界且高度大于相邻的高度）。

                4+---+|   ||   | 3                       3|   ||   +---+                   -----|       |                   |   |2 |       |                 2 |   |     2|       |                   |   |+---+       |               ----+   |   +---+|           |               |       |   |   |1 |           | 1           1 |       | 1 |   | 1|           |               |       |   |   |+---+           +---+       +---+       +---+   +---+|                   |       |                       |0 |                   | 0   0 |                       | 0|                   |       |                       |+---+                   +-------+                       +---+0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14

登山时会消耗登山者的体力（整数），上坡时，消耗相邻高度差两倍的体力，下坡时消耗相邻高度差一倍的体力，平地不消耗体力，登山者体力消耗到零时会有生命危险。

例如，上图所示的山峰：从索引 0，走到索引 1，高度差为 1，需要消耗 2*1=2 的体力；从索引 2 高度 2走到高度 4 索引 3 需要消耗 2*2=4 的体力；从索引 3 走到索引 4 则消耗 1*1=1 的体力。

攀登者想要评估一张地图内有多少座山峰可以进行攀登，且可以安全返回到地面，且无生命危险。

例如上图中的教组，有3个不同的山峰，登上位置在3的山可以从位置0或者位置6开始，从位置0登到山顶需要消耗体力1*2+1*2+2*2=8，从山顶返回到地面0需要消耗体力 2*1+1*1+1*1=4的体力，按照登山路线0->3->0需要消耗体力 12。攀登者至少需要12以上的体力(大于12)才能安全返回。

输入描述

第一行输入 一个长度为N的数组，表示地图。

第二行输入最大体力。

输出描述

输出一个数字，地图中可以攀登到达的山峰数量

示例

输入

0,1,4,3,1,0,0,1,2,3,1,2,1,0
11

输出

2

解题思路

和【模拟】2023C-攀登者1的区别在于，本题除了需要查看峰值的位置，还需要查看这个峰值是否能够在平地位置攀登过去。

本题需要严格地区分上/下山和上/下坡的区别。在后面的题解中：

• 上/下山表示从平地到达某个山峰或反之
• 上/下坡表示从低海拔位置走到高海拔位置或反之

原路返回和非原路返回

攀登山峰的方式，一共可以分为四种情况

• 从左边上山，往左边下山
• 从右边上山，往右边下山
• 从左边上山，往右边下山
• 从右边上山，从左边下山

其中前两者可以统称为原路返回的攀登方式，后两者可以统称为非原路返回的攀登方式。

在本题中，只需要考虑原路返回的攀登方式，无需考虑非原路返回的攀登方式。

因为两条原路返回路径所花费的体力，一定有一条是小于另外两条非原路返回的攀登方式。

（贪心思想不要尝试在考试的时候证明正确性，相信数学直觉）

原路返回走过的总路程

考虑原路返回的攀登方式，这种登山方式，上坡和下坡走过的总路程是一样多的。也是最方便我们计算的。

以题目所给例子为例，如果我们想从索引7的空地位置向右攀登来到索引12的高度为2的山峰并且原路返回到原来的空地，来回的路线分别用红色和绿色标记出来，会发现上山和下山所走过的总路程其实是一样多的。这个结论对于任何一个山峰、任何一个方向都成立。

因此，这里花费的总体力为相邻元素高度差的绝对值的总和乘以3。

其中，相邻元素高度差的绝对值的总和表示走过的总路程，而之所以系数为3是因为上坡和下坡各自要花费2倍和1倍高度差的体力。

所以，对于每一个山峰，我们都可以很容易地计算出从左边的某处空地出发，向右攀登到达这个山峰并且沿原路返回到达空地所需要花费的体力。

如果这个这个体力超过了所给的初始体力，无法到达该山峰。

从左边空地出发原路返回

那么应该如何计算从从左边某处空地出发向右攀登（后面原路返回），能够攀登到的山峰数量？

寻找空地

我们需要找到若干空地作为出发点，这个空地但必须是上山前的最后一个空地。如

[0, 1, 2, 4, 3, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 0]⬆                    ⬆

可以通过以下代码实现

space_list = list()
for i in range(n-1):if nums[i] == 0 and nums[i+1] > 0:space_list.append(i)

向右登山

已知最大体力值为power_max，设在攀登过程中所累积的高度差为route_num，对应花费的体力为route_num * 3。

从某一个空地start出发，在一个while循环中不断向右移动，同时更新所经历的高度差route_num。若

• route_num * 3 > power_max，说明会在攀登过程中体力降为0，无法到达i位置，退出循环
• 找到了一个山峰，则将位置i记录在数组ans中
  • 注意山峰需要区分边界i == n-1和非边界情况i != n-1

for start in space_list:i = start + 1route_num = 0while i < n and nums[i] != 0:route_num += abs(nums[i] - nums[i-1])if route_num * 3 > power_max:breakif i == n-1 and nums[i] > nums[i-1]:ans.append(i)elif nums[i] > nums[i-1] and nums[i] > nums[i+1]:ans.append(i)i += 1

构建函数

上述两部分合并在一起，可以构建出函数cal_peak_from_left(nums, power_max,, n)，具体实现如下

def cal_peak_from_left(nums, power_max, n):ans = list()space_list = list()for i in range(n-1):if nums[i] == 0 and nums[i+1] > 0:space_list.append(i)for start in space_list:i = start + 1route_num = 0while i < n and nums[i] != 0:route_num += abs(nums[i] - nums[i-1])if route_num * 3 > power_max:breakif i == n-1 and nums[i] > nums[i-1]:ans.append(i)elif nums[i] > nums[i-1] and nums[i] > nums[i+1]:ans.append(i)i += 1return ans

其中返回的列表ans，为从左边空地出发并原路返回，能够攀登到的所有山峰的索引。可以做如下调用

ans_from_left = cal_peak_from_left(heights, power_max, n)

从右边空地出发原路返回

对于是从右边的某处空地出发，向左攀登到某个山峰并沿原路返回到达空地的情况，也存在上述类似的结论。

很容易想到，整个过程是类似的，只不过整个方向反过来了。

一种方法是，可以构建出一个完全类似的函数cal_peak_from_right(nums, power_max, n)

但一种更加简便、代码复用性更强的做法是，我们可以将从右边空地出发向左攀登，看作是对原高度数组进行反转之后，即对heights[::-1]进行从左边空地出发向右攀登得到的结果。即做如下调用

ans_from_right = cal_peak_from_left(heights[::-1], power_max, n)

由于使用了反转，得到计算得到的索引也是反转的，需要进一步处理才能得到原heights数组中的索引，即

ans_from_right = [n-i-1 for i in ans_from_right]

最终取ans_from_left和ans_from_right的交集的长度，即为所有能够攀登到的山峰（不管从左出发还是从右出发原路返回）的索引了。再取并集的长度即为答案。

ans = len(set(ans_from_left + ans_from_right))

*为什么一定是原路返回（严谨证明）

可能有同学就会提出疑问，为什么只考虑原路返回的情况。

这其实是涉及到了贪心思想。

贪心不问出处，问就是数学直觉。

假设到达某个山峰，从左边上山、从右边上山、从左边下山、从右边下山各自花费的体力为A, B, C, D

四种方式所对应的体力值分别为

左上左下 = A + C
左上右下 = A + D
右上右下 = B + D
右上左下 = B + C

每段花费的体力都可以分割为两部分，一部分是上坡、一部分是下坡，分别用下标1和2来表示。那么存在以下的若干式子成立

A = A1 + A2
B = B1 + B2
C = C1 + C2
D = D1 + D2

其中A2, B2, C2, D2不仅表示下坡花费的体力，也同时表示高度

• A2表示从左边上山经历的下坡高度
• B2表示从右边上山经历的下坡高度
• C2表示往左边下山经历的下坡高度
• D2表示往右边下山经历的下坡高度

由于最终的山峰高度一致，因此存在以下式子成立

C2 - A2 = D2 - B2 > 0

即

C2 + B2 = A2 + D2

如下图所示

另外，上坡和下坡的体力消耗也存在倍数关系。譬如，从左边上山的上坡体力消耗A1，是往左边下山的下坡体力消耗C2的两倍。因此存在以下关系

A1 = 2 * C2
C1 = 2 * A2
B1 = 2 * D2
D1 = 2 * B2

代入上述式子可以得到

A = 2 * C2 + A2
B = 2 * D2 + B2
C = 2 * A2 + C2
D = 2 * B2 + D2

进一步可以得到

左上左下 = A + C = (2 * C2 + A2) + (2 * A2 + C2) = 3 * (A2 + C2)
左上右下 = A + D = (2 * C2 + A2) + (2 * B2 + D2) = 2 * (B2 + C2) + (A2 + D2)
右上右下 = B + D = (2 * D2 + B2) + (2 * B2 + D2) = 3 * (B2 + D2)
右上左下 = B + C = (2 * D2 + B2) + (2 * A2 + C2) = 2 * (A2 + D2) + (B2 + C2)

将以下式子带入

C2 + B2 = A2 + D2

可以得到

左上左下 = A + C = (2 * C2 + A2) + (2 * A2 + C2) = 3 * (A2 + C2)
左上右下 = A + D = (2 * C2 + A2) + (2 * B2 + D2) = 3 * (B2 + C2)
右上右下 = B + D = (2 * D2 + B2) + (2 * B2 + D2) = 3 * (B2 + D2)
右上左下 = B + C = (2 * D2 + B2) + (2 * A2 + C2) = 3 * (A2 + D2)

上述方程是非常对称的。又因为

C2 - A2 = D2 - B2 > 0

不妨设C2 >= D2 > A2 >= B2成立（设D2 >= C2 > B2 >= A2也是一样的，会得到(A2 + C2)是最小值）

很容易看出，以下四组数中

(A2 + C2)
(B2 + C2)
(B2 + D2)
(A2 + D2)

一定存在(B2 + D2)是最小值，这里对应着右上右下原路返回的情况。

我们只需要考虑到达山峰的最小情况即可。

代码

python

# 题目：【模拟】2023C-攀登者2
# 分值：200
# 作者：许老师-闭着眼睛学数理化
# 算法：模拟/贪心
# 代码看不懂的地方，请直接在群上提问# 计算从左边空地出发，能够攀登并按照原路返回的山峰数量
def cal_peak_from_left(nums, power_max, n):ans = list()# 记录出发空地的坐标space_list = list()# 考虑所有位置，记录出发的起始位置空地for i in range(n-1):# 如果i为空地，且下一个位置i+1不为空地，则记录位置i，作为一个出发的空地# (即如果出现连续的空地，只需要储存最右边最靠近山体的空地作为出发的起始位置即可)if nums[i] == 0 and nums[i+1] > 0:space_list.append(i)# 考虑每一个起始位置for start in space_list:# 设置初始的i为空地start的下一个位置i = start + 1route_num = 0# 从start+1出发，向右登山# 且不能跨过所有山脉爬到另一头的另一个空地while i < n and nums[i] != 0:# 总高度差新增nums[i]和nums[i-1]之间的高度差route_num += abs(nums[i] - nums[i-1])# 若当前花费体力大于最大体力值，则无法攀登到最新的i处，退出循环# 注意：这里是大于等于，不是大于if route_num * 3 >= power_max:break# 若nums[i]是一座山峰，把i存入ans中# 边界情况if i == n-1 and nums[i] > nums[i-1]:ans.append(i)# 非边界情况elif nums[i] > nums[i-1] and nums[i] > nums[i+1]:ans.append(i)# i递增i += 1# 返回所有能够到达的山峰的索引return ans# 输入高度数组
heights = list(map(int, input().split(",")))
# 获得数组长度
n = len(heights)
# 输入最大体力
power_max = int(input())
# 计算从左边空地出发，向右攀爬，并原路返回能到达的山峰
ans_from_left = cal_peak_from_left(heights, power_max, n)
# 计算从右边空地出发，向左攀爬，并原路返回能到达的山峰
ans_from_right = cal_peak_from_left(heights[::-1], power_max, n)
# 由于使用了反转，得到的索引也是反转的，需要进一步处理才能得到原heights数组中的索引
ans_from_right = [n-i-1 for i in ans_from_right]
# 求ans_from_left和ans_from_right的交集的长度（去重），即为答案
ans = len(set(ans_from_left + ans_from_right))
print(ans)

java

import java.util.*;public class Main {// 计算从左边空地出发，能够攀登并按照原路返回的山峰数量public static List<Integer> calPeakFromLeft(List<Integer> nums, int powerMax, int n) {List<Integer> ans = new ArrayList<>();List<Integer> spaceList = new ArrayList<>();// 记录出发空地的坐标for (int i = 0; i < n - 1; i++) {// 如果i为空地，且下一个位置i+1不为空地，则记录位置i，作为一个出发的空地// (即如果出现连续的空地，只需要储存最右边最靠近山体的空地作为出发的起始位置即可)if (nums.get(i) == 0 && nums.get(i + 1) > 0) {spaceList.add(i);}}// 考虑每一个起始位置for (int start : spaceList) {// 设置初始的i为空地start的下一个位置int i = start + 1;int routeNum = 0;// 从start+1出发，向右登山// 且不能跨过所有山脉爬到另一头的另一个空地while (i < n && nums.get(i) != 0) {// 总高度差新增nums[i]和nums[i-1]之间的高度差routeNum += Math.abs(nums.get(i) - nums.get(i - 1));// 若总高度大于等于最大高度差，则无法攀登到最新的i处，退出循环// 注意：这里是大于等于，不是大于if (routeNum * 3 >= powerMax) {break;}// 若nums[i]是一座山峰，把i存入ans中// 边界情况if (i == n - 1 && nums.get(i) > nums.get(i - 1)) {ans.add(i);}// 非边界情况else if (nums.get(i) > nums.get(i - 1) && nums.get(i) > nums.get(i + 1)) {ans.add(i);}// i递增i++;}}// 返回所有能够到达的山峰的索引return ans;}public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);String input = scanner.nextLine();List<Integer> heights = new ArrayList<>();String[] heightStrings = input.split(",");for (String heightString : heightStrings) {heights.add(Integer.parseInt(heightString));}int n = heights.size();int powerMax = scanner.nextInt();// 计算从左边空地出发，向右攀爬，并原路返回能到达的山峰List<Integer> ansFromLeft = calPeakFromLeft(heights, powerMax, n);// 计算从右边空地出发，向左攀爬，并原路返回能到达的山峰List<Integer> reversedHeights = new ArrayList<>(heights);Collections.reverse(reversedHeights);List<Integer> ansFromRight = calPeakFromLeft(reversedHeights, powerMax, n);// 由于使用了反转，得到的索引也是反转的，需要进一步处理才能得到原heights数组中的索引for (int i = 0; i < ansFromRight.size(); i++) {ansFromRight.set(i, n - ansFromRight.get(i) - 1);}// 使用 HashSet 来存储并集的结果，去重Set<Integer> ansSet = new HashSet<>(ansFromLeft);ansSet.addAll(ansFromRight);// 输出结果System.out.println(ansSet.size());}
}

cpp

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <unordered_set>
#include <sstream>using namespace std;// 计算从左边空地出发，能够攀登并按照原路返回的山峰数量
vector<int> cal_peak_from_left(vector<int>& nums, int power_max, int n) {vector<int> ans;vector<int> space_list;// 记录出发空地的坐标for (int i = 0; i < n - 1; i++) {// 如果i为空地，且下一个位置i+1不为空地，则记录位置i，作为一个出发的空地// (即如果出现连续的空地，只需要储存最右边最靠近山体的空地作为出发的起始位置即可)if (nums[i] == 0 && nums[i+1] > 0) {space_list.push_back(i);}}// 考虑每一个起始位置for (int start : space_list) {// 设置初始的i为空地start的下一个位置int i = start + 1;int route_num = 0;// 从start+1出发，向右登山// 且不能跨过所有山脉爬到另一头的另一个空地while (i < n && nums[i] != 0) {// 总高度差新增nums[i]和nums[i-1]之间的高度差route_num += abs(nums[i] - nums[i - 1]);// 若总高度大于等于最大高度差，则无法攀登到最新的i处，退出循环// 注意：这里是大于等于，不是大于if (route_num * 3 >= power_max) {break;}// 若nums[i]是一座山峰，把i存入ans中// 边界情况if (i == n - 1 && nums[i] > nums[i - 1]) {ans.push_back(i);}// 非边界情况else if (nums[i] > nums[i - 1] && nums[i] > nums[i + 1]) {ans.push_back(i);}// i递增i++;}}// 返回所有能够到达的山峰的索引return ans;
}int main() {string input;getline(cin, input);vector<int> heights;int num, power_max;// 使用 stringstream 解析输入高度数组stringstream ss(input);string temp;while (getline(ss, temp, ',')) {num = stoi(temp);heights.push_back(num);}// 获得数组长度int n = heights.size();// 输入最大体力cin >> power_max;// 计算从左边空地出发，向右攀爬，并原路返回能到达的山峰vector<int> ans_from_left = cal_peak_from_left(heights, power_max, n);// 计算从右边空地出发，向左攀爬，并原路返回能到达的山峰vector<int> reversed_heights(heights.rbegin(), heights.rend());vector<int> ans_from_right = cal_peak_from_left(reversed_heights, power_max, n);// 由于使用了反转，得到的索引也是反转的，需要进一步处理才能得到原heights数组中的索引for (int i = 0; i < ans_from_right.size(); i++) {ans_from_right[i] = n - ans_from_right[i] - 1;}// 使用 unordered_set 来存储交集的结果，去重unordered_set<int> ans_set;for (int val : ans_from_left) {ans_set.insert(val);}for (int val : ans_from_right) {ans_set.insert(val);}// 输出结果cout << ans_set.size() << endl;return 0;
}

时空复杂度

时间复杂度：O(N)。

空间复杂度：O(N)。

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