算法学习系列（四十二）：最短路模型

引言

关于这个最短路问题还是得要好好刷题见题才行啊，不然这个其实模板都是差不多的，就是可能怎么把它转化为 $BFS$ 是个问题，以及能不能想到用也是一个问题，其实就是你做过这种题，那么你就会，就是这样，加油！

一、迷宫问题

标签：BFS

思路：就是普通的 $BFS$ 模型，不一样的是该题需要输出路径，我们可以拿一个二维 $p ai r$ 数组来存该点的上一个坐标，为了方便我们从后向前遍历，这样就可以直接从源点按顺序打印了。

题目描述：

给定一个 n×n 的二维数组，如下所示：int maze[5][5] = {0, 1, 0, 0, 0,0, 1, 0, 1, 0,0, 0, 0, 0, 0,0, 1, 1, 1, 0,0, 0, 0, 1, 0,};
它表示一个迷宫，其中的1表示墙壁，0表示可以走的路，只能横着走或竖着走，不能斜着走，要求编程序找出从左上角到右下角的最短路线。数据保证至少存在一条从左上角走到右下角的路径。输入格式
第一行包含整数 n。接下来 n 行，每行包含 n 个整数 0 或 1，表示迷宫。输出格式
输出从左上角到右下角的最短路线，如果答案不唯一，输出任意一条路径均可。按顺序，每行输出一个路径中经过的单元格的坐标，左上角坐标为 (0,0)，右下角坐标为 (n−1,n−1)。数据范围
0≤n≤1000
输入样例：
5
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 0
0 1 1 1 0
0 0 0 1 0
输出样例：
0 0
1 0
2 0
2 1
2 2
2 3
2 4
3 4
4 4

示例代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y secondconst int N = 1010;int n;
int g[N][N];
bool st[N][N];
PII pre[N][N];int dir[4][2] = {0,1,0,-1,1,0,-1,0};void bfs(PII S)
{st[S.x][S.y] = true;queue<PII> q; q.push(S);while(q.size()){auto t = q.front(); q.pop();for(int i = 0; i < 4; ++i){int x = t.x + dir[i][0];int y = t.y + dir[i][1];if(x < 0 || x >= n || y < 0 || y >= n) continue;if(st[x][y] || g[x][y] == 1) continue;pre[x][y] = {t.x,t.y};st[x][y] = true;q.push({x,y});}}
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);cin >> n;for(int i = 0; i < n; ++i){for(int j = 0; j < n; ++j){cin >> g[i][j];}}bfs({n-1,n-1});PII end(0,0);while(true){cout << end.x << " " << end.y << endl;if(end.x == n - 1 && end.y == n - 1) break;end = pre[end.x][end.y];}return 0;
}

二、武士风度的牛

标签：BFS

思路：这道题就是把方向改成需要的 “日” 字就行了，按对应的改变下标去做就行了，剩余的就是 $BFS$ 模板了。

题目描述：

农民 John 有很多牛，他想交易其中一头被 Don 称为 The Knight 的牛。这头牛有一个独一无二的超能力，在农场里像 Knight 一样地跳（就是我们熟悉的象棋中马的走法）。虽然这头神奇的牛不能跳到树上和石头上，但是它可以在牧场上随意跳，我们把牧场用一个 x，y 的坐标图来表示。这头神奇的牛像其它牛一样喜欢吃草，给你一张地图，上面标注了 The Knight 的开始位置，树、灌木、石头以及其它障碍的位置，除此之外还有一捆草。现在你的任务是，确定 The Knight 要想吃到草，至少需要跳多少次。The Knight 的位置用 K 来标记，障碍的位置用 * 来标记，草的位置用 H 来标记。这里有一个地图的例子：11 | . . . . . . . . . .10 | . . . . * . . . . . 9 | . . . . . . . . . . 8 | . . . * . * . . . . 7 | . . . . . . . * . . 6 | . . * . . * . . . H 5 | * . . . . . . . . . 4 | . . . * . . . * . . 3 | . K . . . . . . . . 2 | . . . * . . . . . * 1 | . . * . . . . * . . 0 ----------------------1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 
The Knight 可以按照下图中的 A,B,C,D… 这条路径用 5 次跳到草的地方（有可能其它路线的长度也是 5）：11 | . . . . . . . . . .10 | . . . . * . . . . .9 | . . . . . . . . . .8 | . . . * . * . . . .7 | . . . . . . . * . .6 | . . * . . * . . . F<5 | * . B . . . . . . .4 | . . . * C . . * E .3 | .>A . . . . D . . .2 | . . . * . . . . . *1 | . . * . . . . * . .0 ----------------------10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
注意： 数据保证一定有解。输入格式
第 1 行： 两个数，表示农场的列数 C 和行数 R。第 2..R+1 行: 每行一个由 C 个字符组成的字符串，共同描绘出牧场地图。输出格式
一个整数，表示跳跃的最小次数。数据范围
1≤R,C≤150
输入样例：
10 11
..........
....*.....
..........
...*.*....
.......*..
..*..*...H
*.........
...*...*..
.K........
...*.....*
..*....*..
输出样例：
5

示例代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y secondconst int N = 200;PII S;
int n, m;
char g[N][N];
int dist[N][N];int dir[8][2] = {-2,-1,-2,1,-1,-2,-1,2,1,-2,1,2,2,-1,2,1};int bfs()
{memset(dist, -1, sizeof dist);dist[S.x][S.y] = 0;queue<PII> q; q.push(S);while(q.size()){auto t = q.front(); q.pop();if(g[t.x][t.y] == 'H') return dist[t.x][t.y];for(int i = 0; i < 8; ++i){int x = t.x + dir[i][0];int y = t.y + dir[i][1];if(x < 0 || x >= n || y < 0 || y >= m) continue;if(dist[x][y] != -1 || g[x][y] == '*') continue;dist[x][y] = dist[t.x][t.y] + 1;q.push({x,y});}}return -1;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);cin >> m >> n;for(int i = 0; i < n; ++i) {cin >> g[i];for(int j = 0; j < m; ++j){if(g[i][j] == 'K') S = {i,j};}}cout << bfs() << endl;return 0;
}

三、抓住那头牛

标签：BFS

思路：这道题可以抽象出一个模型：一个点可以与三个点连边，权值为 $1$ ，这样可以建图来做，值得注意的是，最多可以向 $2 * 10 ^ 5$ 的点连边，因为有可能先二倍再往回退，这样可能是最优的，然后再 $BFS$ 就行了。第二种就是光改变方向就行了，就是三个方向而已，加三个判断即可。详情可见代码。

题目描述：

农夫知道一头牛的位置，想要抓住它。农夫和牛都位于数轴上，农夫起始位于点 N，牛位于点 K。农夫有两种移动方式：从 X 移动到 X−1 或 X+1，每次移动花费一分钟从 X 移动到 2∗X，每次移动花费一分钟假设牛没有意识到农夫的行动，站在原地不动。农夫最少要花多少时间才能抓住牛？输入格式
共一行，包含两个整数N和K。输出格式
输出一个整数，表示抓到牛所花费的最少时间。数据范围
0≤N,K≤105
输入样例：
5 17
输出样例：
4

示例代码1：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y secondconst int N = 2e5+10;int a, b;
int dist[N];int bfs()
{memset(dist, -1, sizeof dist);dist[a] = 0;queue<int> q; q.push(a);while(q.size()){int t = q.front(); q.pop();if(t == b) return dist[b];if(t - 1 >= 0 && dist[t-1] == -1){dist[t-1] = dist[t] + 1;q.push(t-1);}if(t + 1 < N && dist[t+1] == -1){dist[t+1] = dist[t] + 1;q.push(t+1);}if(t * 2 < N && dist[t*2] == -1){dist[t*2] = dist[t] + 1;q.push(t*2);}}return -1;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);cin >> a >> b;cout << bfs() << endl;return 0;
}

示例代码2：建图

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y secondconst int N = 5e5+10, M = N * 3;int a, b;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int dist[N];void add(int a, int b)
{e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}int bfs()
{memset(dist, -1, sizeof dist);dist[a] = 0;queue<int> q; q.push(a);while(q.size()){int t = q.front(); q.pop();if(t == b) return dist[b];for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if(dist[j] != -1) continue;dist[j] = dist[t] + 1;q.push(j);}}return -1;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);memset(h, -1, sizeof h);cin >> a >> b;for(int i = 0; i < 2e5+10; ++i){add(i,i+1),add(i,i-1),add(i,i*2);}cout << bfs() << endl;return 0;
}