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前言

目前为止，我们对实随机过程的分析方法已经基本掌握了。像复信号一样，我们也会有需要处理复随机过程的时候，这篇笔记我们就来学习一下复随机过程。

强调一下，由于平稳过程的均值是常数，在讨论平稳随机过程时都会默认做了零均值处理，即默认任意涉及到的平稳过程均为零均值随机过程。

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一、复随机过程

1.1定义

复随机过程$Z(t)=X(t)+jY(t)$是由一对实随机过程组成。其均值根据定义容易得到，自相关函数定义则需要加上共轭符号：

$EZ(t)=EX(t)+jEY(t)$
R Z ( t , τ ) = E Z ∗ ( t ) Z ( t + τ ) = E { [ X ( t ) + j Y ( t ) ] ∗ [ X ( t + τ ) + j Y ( t + τ ) ] } R_Z(t,\tau)=EZ^*(t)Z(t+\tau)=E\left\{[X(t)+jY(t)]^*[X(t+\tau)+jY(t+\tau)]\right\} RZ​(t,τ)=EZ∗(t)Z(t+τ)=E{[X(t)+jY(t)]∗[X(t+τ)+jY(t+τ)]}
$=R_X(t,\tau )+R_Y(t,\tau )-j{R}_{XY}(t,\tau )-j{R}_{YX}(t,\tau )$

此外，还可以定义一个共轭自相关函数，即复随机过程$Z(t)$与自身共轭$Z^{\ast }(t)$的自相关函数：

$R_{Z{Z}^{\ast }}(t,\tau )=E(Z^{\ast }(t)Z^{\ast }(t+\tau ))$

注意共轭自相关函数交换顺序结果是不一样的，他们的结果是共轭的关系。

1.2 复平稳过程

复平稳过程的定义就是需要其实部虚部联合平稳，这个定义有个等价定义：复随机过程$Z(t)$的均值为常数，其自相关函数与共轭自相关函数只与时间差有关。下面来简单证明一下这两个定义等价

先证“=>”:

$EZ(t)=m_X+j{m}_Y$,
$R_Z(t,\tau )=R_X(t,\tau )+R_Y(t,\tau )-j{R}_{XY}(t,\tau )-j{R}_{YX}(t,\tau )$
$=R_X(\tau )+R_Y(\tau )-j{R}_{XY}(\tau )-j{R}_{YX}(\tau )$,
$R_{Z{Z}^{\ast }}(t,\tau )=R_X(t,\tau )+R_Y(t,\tau )-j{R}_{XY}(t,\tau )-j{R}_{YX}(t,\tau )$
$=R_X(\tau )-R_Y(\tau )-j{R}_{XY}(\tau )-j{R}_{YX}(\tau )$,

再证明“<=”:

先证$X(t)$为平稳过程
$EX(t)=EZ(t)/2+EZ\ast (t)/2=m_Z/2+m_Z^{\ast }/2$
R X ( t , τ ) = 1 4 E { [ Z ( t ) + Z ∗ ( t ) ] [ Z ( t + τ ) + Z ∗ ( t + τ ) ] } R_X(t,\tau)=\frac{1}{4}E\left\{[Z(t)+Z^*(t)][Z(t+\tau)+Z^*(t+\tau)]\right\} RX​(t,τ)=41​E{[Z(t)+Z∗(t)][Z(t+τ)+Z∗(t+τ)]}
$=R_{Z^{\ast }Z}(\tau )+R_Z(\tau )+R_{Z{Z}^{\ast }}(\tau )+R_Z^{\ast }(\tau )$
同理可以证得$Y(t)$也是平稳过程，且他们联合平稳。

二、平稳带通过程分析

2.1 解析过程

和带通信号分析一样，平稳带通过程（功率谱集中在频带的平稳过程）也可以通过引入解析过程与复包络来实现等效系带分析。先考虑一个零均值带通平稳过程$X(t)$，可以得到它的解析过程：

$Z(t)=X(t)+j\hat{X}(t)$

通过上一篇的结论我们知道，$X(t),\hat{X}(t)$联合平稳，因此$Z(t)$为复平稳随机过程，计算它的自相关函数有：

$R_Z(t)=E[X(t)-j\hat{X}(t)][X(t+\tau )+j\hat{X}(t+\tau )]$
$=R_X(\tau )-j{R}_{\hat{X}X}(\tau )+j{R}_{X\hat{X}}(\tau )+R_{\hat{X}}(\tau )$
由上一篇的结论：$R_X(\tau )=R_{\hat{X}}(\tau ),R_{\hat{X}X}(\tau )=R_{X\hat{X}}(-\tau )={\hat{R}}_X(\tau )$，进一步化简结果有：
$=2R_X(\tau )+2j{\hat{R}}_X(\tau )$

这个形式其实就是$R_X(\tau )$的解析信号的两倍，因此有类似于确定信号的解析信号的关系：

$P_Z(f)=4P_X(f)，f>0$

（注意，这里将自相关函数看作信号，解析信号的频谱是原频谱的两倍，再乘上2才变成了四倍。）

类似的可以计算$Z(t)$的共轭自相关函数，这里不再重复，化简之后得到的结果是$R_{Z{Z}^{\ast }}(\tau )=0$，即解析过程与自身的共轭过程不相关。

2.2 随机过程的复包络

类似于确定信号，我们有带通过程$X(t)$的复包络：

$X_L(t)=Z(t)e^{-j2\pi f_{c}t}$

依次计算其均值，自相关函数，共轭自相关函数：

$E{X}_L(t)=e^{-j2\pi f_{c}t}EZ(t)=0,$
$E{X}_L^{\ast }(t)X_L(t+\tau )=E{Z}^{\ast }(t)e^{j2\pi f_{c}t}Z(t+\tau )e^{-j2\pi f_c(t+\tau )}$
$=R_Z(\tau )e^{-j2\pi f_c\tau }$，
$E{X}_L(t)X_L(t+\tau )=EZ(t)Z(t+\tau )e^{-j2\pi f_{c}t}{e}^{-j2\pi f_c(t+\tau )}$
$R_{Z{Z}^{\ast }}(\tau )e^{-j2\pi f_c(2t+\tau )}=0$

可以看到，平稳带通过程的复包络是复平稳过程，且其与自身的共轭过程不相关。进一步也可以看到复包络的功率谱是平稳带通过程的功率向左搬移$f_c$的四倍。与确定信号分析中的结果一致。此外，既然该复包络是复平稳过程，根据等价定义，则有其实部虚部联合平稳。

三、平稳序列与循环平稳

这两个内容不准备单独写一篇了，并不算是重点内容，就在这简单提一下把，之后如果有用到这些概念再做详细介绍。

所谓随机序列就是把时间离散化，变成整数时间序列$n$。所以平稳随机序列就是其均值为常数，自相关函数仅与时间序列差有关。

循环平稳则是进一步放宽了平稳过程的条件，即随机过程的均值和自相关函数是关于时间$t$的周期函数。

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总结

这一篇介绍了复随机过程以及复平稳过程，这一节与确定信号分析中的带通信号及复包络那节类似。

下一篇将会介绍高斯随机过程，这是一种非常重要的随机过程模型。