【数据结构】深入理解AVL树：实现和应用

AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，它能够保持良好的平衡性质，使得在最坏情况下的时间复杂度也能保持在对数级别。本文将深入介绍AVL树的原理、实现和应用，并通过示例代码演示其基本操作。

文章目录

  • 什么是AVL树？
  • AVL树的实现
    • 在AVL树中插入值为data的节点实现：
    • AVL树的旋转
      • 右单旋
      • 左单旋
      • 左右双旋
      • 右左双旋
  • AVL树的应用
  • 完整代码
  • 总结

什么是AVL树？

AVL树是由两位苏联数学家Adelson-Velsky和Landis于1962年发明的，它的特点是能够在插入和删除节点时自动调整树的结构，以保持树的平衡性。在AVL树中，任意节点的左右子树高度差不超过1，这就保证了整棵树的高度始终保持在对数级别，从而保证了插入、删除和查找等操作的高效性。

AVL树的实现

以下是一个C++实现的AVL树的基本结构和操作示例：

template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data = T()): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _pLeft;AVLTreeNode<T>* _pRight;AVLTreeNode<T>* _pParent;T _data;int _bf;   // 节点的平衡因子
};// AVL: 二叉搜索树 + 平衡因子的限制
template<class T>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<T> Node;
public:AVLTree(): _pRoot(nullptr){}// 在AVL树中插入值为data的节点bool Insert(const T& data);// AVL树的验证bool IsAVLTree(){return _IsAVLTree(_pRoot);}private:// 根据AVL树的概念验证pRoot是否为有效的AVL树bool _IsAVLTree(Node* pRoot);size_t _Height(Node* pRoot);// 右单旋void RotateR(Node* pParent);// 左单旋void RotateL(Node* pParent);// 右左双旋void RotateRL(Node* pParent);// 左右双旋void RotateLR(Node* pParent);private:Node* _pRoot;
};

在AVL树中插入值为data的节点实现：

// 在AVL树中插入值为data的节点
bool Insert(const T& data) {// 插入节点if (_pRoot == nullptr) {_pRoot = new Node(data);return true;}Node* pParent = nullptr;Node* pCur = _pRoot;while (pCur) {pParent = pCur;if (data < pCur->_data)pCur = pCur->_pLeft; // 往左子树查找else if (data > pCur->_data) pCur = pCur->_pRight; // 往右子树查找elsereturn false; // 重复值不插入}// 创建新节点pCur = new Node(data);if (data < pParent->_data)pParent->_pLeft = pCur;elsepParent->_pRight = pCur;pCur->_pParent = pParent;// 插入节点后，更新平衡因子并进行平衡处理while (pParent) {if (pCur == pParent->_pLeft) // 更新节点在左子树--pParent->_bf; // 更新父节点的平衡因子else++pParent->_bf; // 更新父节点的平衡因子if (0 == pParent->_bf) // 如果平衡旋转结束break;// 如果父节点的bf==1或-1，则不需要调整，直接向上更新即可if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf) {pCur = pParent;pParent = pParent->_pParent;} else { // 父节点不平衡，需要旋转调整if (pParent->_bf == 2) {if (pCur->_bf == 1) // LL型// 左单旋RotateL(pParent);else // LR型// 先左旋后右旋RotateRL(pParent);}else {if (pCur->_bf == -1) // RR型// 右单旋RotateR(pParent);else // RL型// 先左旋后右旋RotateLR(pParent);}break;}}return true;
}

AVL树的旋转

AVL树的平衡是通过维护每个节点的平衡因子来实现的。平衡因子指的是节点的左子树高度减去右子树高度的差值，其取值范围为-1、0和1。当平衡因子的绝对值超过1时，AVL树就需要进行旋转操作来重新平衡。

右单旋

在这里插入图片描述

// 右单旋void RotateR(Node* pParent) {Node* pSubL = pParent->_pLeft;Node* pSubLR = pSubL->_pRight;// 右旋pParent->_pLeft = pSubLR;if (pSubLR)pSubLR->_pParent = pParent;pSubL->_pRight = pParent;pSubL->_pParent = pParent->_pParent;pParent->_pParent = pSubL;if (pParent == _pRoot)_pRoot = pSubL;else {if (pSubL->_pParent->_pLeft == pParent)pSubL->_pParent->_pLeft = pSubL;elsepSubL->_pParent->_pRight = pSubL;}pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;}

左单旋

在这里插入图片描述

// 左单旋
void RotateL(Node* pParent) {Node* pSubR = pParent->_pRight;Node* pSubRL = pSubR->_pLeft;// 左旋pParent->_pRight = pSubRL;if (pSubRL)pSubRL->_pParent = pParent;pSubR->_pLeft = pParent;pSubR->_pParent = pParent->_pParent;pParent->_pParent = pSubR;if (pParent == _pRoot)_pRoot = pSubR;else{if (pSubR->_pParent->_pLeft == pParent)pSubR->_pParent->_pLeft = pSubR;elsepSubR->_pParent->_pRight = pSubR;}pParent->_bf = pSubR->_bf = 0;
}

左右双旋

在这里插入图片描述

// 左右双旋
void RotateLR(Node* pParent) {// 先左旋后右旋Node* pSubL = pParent->_pLeft;Node* pSubLR = pSubL->_pRight;// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子int bf = pSubLR->_bf;// 进行左单旋RotateL(pParent->_pLeft);// 进行右单旋RotateR(pParent);if (1 == bf)pSubL->_bf = -1;else if (-1 == bf)pParent->_bf = 1;
}

右左双旋

在这里插入图片描述

// 右左双旋
void RotateRL(Node* pParent) {// 先右旋后左旋Node* pSubR = pParent->_pRight;Node* pSubRL = pSubR->_pLeft;// 旋转之前，保存pSubRL的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子int bf = pSubRL->_bf;// 进行右单旋RotateR(pParent->_pRight);//进行左单旋RotateL(pParent);if (1 == bf)pParent->_bf = -1;else if (-1 == bf)pSubR->_bf = 1;
}

AVL树的应用

AVL树由于其高效的插入、删除和查找操作，在计算机科学领域有着广泛的应用。例如，在数据库系统中，AVL树常被用作索引结构，用于加速数据的检索操作；在编译器的符号表实现中，也可以使用AVL树来存储和查找变量信息。

完整代码

// AVLTree.h
#include <iostream>
using namespace std;
template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data = T()): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _pLeft;AVLTreeNode<T>* _pRight;AVLTreeNode<T>* _pParent;T _data;int _bf;   // 节点的平衡因子
};// AVL: 二叉搜索树 + 平衡因子的限制
template<class T>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<T> Node;
public:AVLTree(): _pRoot(nullptr){}// 在AVL树中插入值为data的节点bool Insert(const T& data) {// 插入节点if (_pRoot == nullptr) {_pRoot = new Node(data);return true;}Node* pParent = nullptr;Node* pCur = _pRoot;while (pCur) {pParent = pCur;if (data < pCur->_data)pCur = pCur->_pLeft; // 往左子树查找else if (data > pCur->_data) pCur = pCur->_pRight; // 往右子树查找elsereturn false; // 重复值不插入}// 创建新节点pCur = new Node(data);if (data < pParent->_data)pParent->_pLeft = pCur;elsepParent->_pRight = pCur;pCur->_pParent = pParent;// 插入节点后，更新平衡因子并进行平衡处理while (pParent) {if (pCur == pParent->_pLeft) // 更新节点在左子树--pParent->_bf; // 更新父节点的平衡因子else++pParent->_bf; // 更新父节点的平衡因子if (0 == pParent->_bf) // 如果平衡旋转结束break;// 如果父节点的bf==1或-1，则不需要调整，直接向上更新即可if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf) {pCur = pParent;pParent = pParent->_pParent;} else { // 父节点不平衡，需要旋转调整if (pParent->_bf == 2) {if (pCur->_bf == 1) // LL型// 左单旋RotateL(pParent);else // LR型// 先左旋后右旋RotateRL(pParent);}else {if (pCur->_bf == -1) // RR型// 右单旋RotateR(pParent);else // RL型// 先左旋后右旋RotateLR(pParent);}break;}}return true;}// AVL树的验证bool IsAVLTree(){return _IsAVLTree(_pRoot);}private:// 根据AVL树的概念验证pRoot是否为有效的AVL树bool _IsAVLTree(Node* pRoot) {if (pRoot == nullptr)return true;int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);if (abs(leftHeight - rightHeight) > 1)return false;return _IsAVLTree(pRoot->_pLeft) && _IsAVLTree(pRoot->_pRight);}size_t _Height(Node* pRoot) {if (pRoot == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);return 1 + max(leftHeight, rightHeight);}// 右单旋void RotateR(Node* pParent) {Node* pSubL = pParent->_pLeft;Node* pSubLR = pSubL->_pRight;// 右旋pParent->_pLeft = pSubLR;if (pSubLR)pSubLR->_pParent = pParent;pSubL->_pRight = pParent;pSubL->_pParent = pParent->_pParent;pParent->_pParent = pSubL;if (pParent == _pRoot)_pRoot = pSubL;else {if (pSubL->_pParent->_pLeft == pParent)pSubL->_pParent->_pLeft = pSubL;elsepSubL->_pParent->_pRight = pSubL;}pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;}// 左单旋void RotateL(Node* pParent) {Node* pSubR = pParent->_pRight;Node* pSubRL = pSubR->_pLeft;// 左旋pParent->_pRight = pSubRL;if (pSubRL)pSubRL->_pParent = pParent;pSubR->_pLeft = pParent;pSubR->_pParent = pParent->_pParent;pParent->_pParent = pSubR;if (pParent == _pRoot)_pRoot = pSubR;else{if (pSubR->_pParent->_pLeft == pParent)pSubR->_pParent->_pLeft = pSubR;elsepSubR->_pParent->_pRight = pSubR;}pParent->_bf = pSubR->_bf = 0;}// 右左双旋void RotateRL(Node* pParent) {// 先右旋后左旋Node* pSubR = pParent->_pRight;Node* pSubRL = pSubR->_pLeft;// 旋转之前，保存pSubRL的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子int bf = pSubRL->_bf;// 进行右单旋RotateR(pParent->_pRight);//进行左单旋RotateL(pParent);if (1 == bf)pParent->_bf = -1;else if (-1 == bf)pSubR->_bf = 1;}// 左右双旋void RotateLR(Node* pParent) {// 先左旋后右旋Node* pSubL = pParent->_pLeft;Node* pSubLR = pSubL->_pRight;// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子int bf = pSubLR->_bf;// 进行左单旋RotateL(pParent->_pLeft);// 进行右单旋RotateR(pParent);if (1 == bf)pSubL->_bf = -1;else if (-1 == bf)pParent->_bf = 1;}private:Node* _pRoot;
};

// test.cpp
#include <iostream>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include "AVLTree.h"int main() {AVLTree<int> avlTree;const int NUM_VALUES = 1000000;// 生成并插入 10 万个随机整数值srand(static_cast<unsigned int>(time(nullptr)));for (int i = 0; i < NUM_VALUES; ++i) {int randomValue = rand() % 1000000; // 生成 0 到 999999 之间的随机整数avlTree.Insert(randomValue);}// 验证是否为 AVL 树if (avlTree.IsAVLTree()) {std::cout << "AVL Tree validation: This is an AVL tree." << std::endl;}else {std::cout << "AVL Tree validation: This is not an AVL tree." << std::endl;}return 0;
}

总结

本篇博客深入介绍了AVL树，包括其原理、实现和应用。通过C++代码示例展示了AVL树的基本结构和操作，以及探讨了在计算机科学领域的广泛应用。整体内容帮助读者更好地理解和应用AVL树这一自平衡的二叉搜索树。

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