题目

给定一个长度为 n 的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。

逆序对的定义如下：对于数列的第 i 个和第 j个元素，如果满足 i<j且 a[i]>a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。

输入格式

第一行包含整数 n，表示数列的长度。

第二行包含 n个整数，表示整个数列。

输出格式

输出一个整数，表示逆序对的个数。

数据范围

1≤n≤100000，
数列中的元素的取值范围 [1,10的9次方]。

输入样例：

6
2 3 4 5 6 1

输出样例：

5

思路

1. 采用分治的一个思路：引入归并排序的基本流程：
   1. [L,R]=>>[L,mid],[mid+1,R]
   2. 递归排序[L,mid]和[mid+1,R]
   3. 归并，将左右两个有序序列合并成一个有序序列
2. 将所有的逆序对分成三大类：两个数同时出现在左半边；两个数同时出现在右半边；一个数出现在左半边，一个数出现在右半边==》假定归并排序的同时可以计算出逆序对的个数
   1. 两个数都在左半边的情况：merge_sort(L,mid)
   2. 两个数都在右半边的情况：merge_sort(mid+1,R)
   3. 一个数在左半边，一个数在右半边：计算出右边每一个数对应的逆序对的个数：s1,s2,s3...sm,相加即可；在归并排序的归并中，双指针进行归并，一个指在左半边，一个指在右半边，所以sj=mid-i+1;
3. 本题的数据逆序对个数最多的情况是：整个排列是逆序的时候：有(n-1)+(n-2)+...+1,用c++会超过int的范围
4. 本题的编外题：xmuoj | 正确排名总数

代码

Python代码

# 读入数据
n=int(input())
q=list(map(int,input().split()))
res =0
tmp=[0]*(n+5)
# 归并排序求得逆序对数量
def merge_sort(l,r):# 递归出口if l>=r:return 0mid=(l+r)//2# 两个数都在左半边或者都在右半边的数量res = merge_sort(l,mid)+merge_sort(mid+1,r)i=lj=mid+1k=0# 处理一个数在左半边，一个数在右半边的情况while i<=mid and j<=r:if q[i]<=q[j]:tmp[k]=q[i]k+=1i+=1else :tmp[k]=q[j]k+=1j+=1res+=mid-i+1 # 右半边对应的每一个数存在的逆序对数量# 扫尾工作while i<=mid:tmp[k]=q[i]k+=1i+=1while j<=r:tmp[k]=q[j]k+=1j+=1p=0# 物归原主for i in range(l,r+1):q[i]=tmp[p]p+=1return res
print(merge_sort(0,n-1))

C++代码

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;//注意返回的数据可能会超过INT 的数值范围
const int N=1e6+10;
int n;
int q[N],tmp[N];
LL merge_sort(int l,int r){if(l>=r)return 0;int mid=l+r>>1;//右移一位，相当于取中间值LL res=merge_sort(l,mid)+merge_sort(mid+1,r);//归并过程int k=0,i=l,j=mid+1;while(i<=mid&&j<=r)if(q[i]<=q[j])tmp[k++]=q[i++];//如果是q[i]<q[j]，那么排序就不稳定else {tmp[k++]=q[j++];res+= mid-i+1;}//扫尾while(i<=mid)tmp[k++]=q[i++];while(j<=r)tmp[k++]=q[j++];//物归原主for(int i=l,j=0;i<=r;i++,j++)q[i]=tmp[j];return res;
}int main(){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&q[i]);cout<<merge_sort(0,n-1)<<endl;return 0;
}