dp入门：从暴力dfs 到 dp

本篇为小金鱼大佬视频的学习笔记，原视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1r84y1379W?vd_source=726e10ea5b787a300ceada715f64b4bf

基础概念

暴力dfs很多时候仅能过部分测试点，要想将其优化，一般以 dfs -> 记忆化搜索 -> dp 为路线，后续熟悉后可以直接写出dp代码。

记忆化搜索：在dfs的基础上，增加一个数组用于记录已经被计算过的值，以减少后续的计算来达到优化效果
dp：给定一个问题，将其拆分为无数个可解决的子问题，并将子问题的答案记录下来，根据子问题反推出源问题

所谓递归，“递”是从上往下，将问题分解为子问题的过程，“归”是从下向上回溯，将已有答案的子问题合并产生答案的过程，而dp就是只调用“归”，从下向上直接找答案

例题：

本篇以数字三角形为例，分析dfs逐步优化到dp的过程，原题链接：P1216 [USACO1.5] [IOI1994]数字三角形 Number Triangles - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

本题目标是要找到从顶部到底部产生的最大权值。

方法一：暴力递归

由题可知，一个数字只可以走到他下面的两个数，而在数组中该数下标（x,y），则它可以遍历的数字下标为（x + 1,y）和（x + 1,y + 1），要找到最大的权值，因此递归条件为 max(dfs(x + 1, y), dfs(x + 1, y + 1)) + mp[x][y];

其实以前刚开始学递归时，一直理解不了return后面这个式子，现在从数学公式来理解的话还是有点不明白，但是可以 通过递归搜索树来理解 。

#include<iostream>
using namespace std;int n;
const int  N = 1010;
int mp[N][N];
int mem[N][N] = { 0 };int dfs(int x, int y) {if (x > n || y > n) return 0;return max(dfs(x + 1, y), dfs(x + 1, y + 1)) + mp[x][y];
}
//从顶部到底部产生最大权值
int main() {cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {cin >> mp[i][j];}}cout << dfs(0,0);return 0;
}

在洛谷上dfs无法通过所有案例，显示tle

方法二：记忆化搜索

在dfs的基础上，加上一个mem数组用于存储已经计算过的值，可以大大减少计算量

#include<iostream>
using namespace std;int n;
const int  N = 1010;
int mp[N][N];
int mem[N][N] = { 0 };int dfs(int x, int y) {if (mem[x][y]) return mem[x][y];int res = 0;if (x > n || y > n) res = 0;else res = max(dfs(x + 1, y), dfs(x + 1, y + 1)) + mp[x][y];mem[x][y] = res;return res;}int main() {cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {cin >> mp[i][j];}}cout << dfs(0,0);return 0;
}

也就是说， 记忆化搜索 = dfs + 记录答案

同时要注意：

要想实现 记忆化搜索 ， dfs参数要尽可能少 ，不应该把没影响边界的参数放进来
要想剪枝，就应尽可能把能剪枝的参数写上来

方法三：递推

递推，也就是从已知答案的小问题逐步推演到源问题的过程，也就是从递归搜索树的下面走到上面回溯的过程，而此过程往往用数组来存储值。（本题为了便于区分不同方法，用f数组来存储）

注意： for循环一定注意是从0增还是从n减 ，而这取决于递归搜索树的底部是n还是0。

#include<iostream>
using namespace std;int n;
const int  N = 1010;
int mp[N][N];
int f[N][N] = { 0 };//从顶部到底部产生最大权值
int main() {cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {cin >> mp[i][j];}}for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {for (int j = 0; j < n; j++) {f[i][j] = max(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + mp[i][j];}}cout << f[0][0];return 0;
}

也可以看出：