一、线性化

从上一篇文章小车倒立摆物理建模与simulink仿真-CSDN博客 我们推导出了倒立摆小车的运动微分方程：

 方程里包含了正弦，余弦运算，因此这个系统是非线性的，不容易控制。 我们的控制目标是把倒立摆直立在小车上(角度在0附近)，因此可以在0附近对sin(θ)，cos(θ)项进行优化。

 考虑到这一项中，如果sin(θ)近似为θ，则存在与θ耦合的情况，因此对于这一项，sin(θ)近似为0，其余项，sin(θ)近似为θ。简化后得到：

 取状态向量为：，将上述微分方程转换为状态空间方程的形式：

二、验证线性化结果的准确性

将重力g的数值改为-10，就可以将倒立摆的坐标切换到在小车底部角度为0（g为10时是以倒立垂直向上为0），给定初始角度，没给外力的情况下，小球角度便会在0附近摇摆。我们可以对比系统非线性微分方程与线性微分方程运动的曲线，检验线性化的过程是否正确。

初始角度为0.1rad时，非线性与线性的结果几乎一致。

初始角度设置为0.5rad时，两者就能看出相位和幅值上的差异。

以上两个实验可以说明线性化后的状态空间方程是符合预期的，在0附近结果与非线性的几乎一致。

三、状态空间方程离散化

直接带微分的状态空间方程是时间连续的，模拟元器件的状态空间方程如下表示：

 但是在实际控制中，控制器的运作，传感器信号的采集都是固定周期离散化的，因此，需要将连续的状态空间方程离散化，转换为以下的形式：

离散化的方法主要有以下三种：

1、前向欧拉法

假设T为采样周期，则原来连续的状态方程可以如下表示：

 移向后可得，I为单位矩阵：

则离散后的A,B,C,D矩阵如下：

 2、后向欧拉法

假设T为采样周期，则原来连续的状态方程可以如下表示：

移向后整理可得，I为单位矩阵：

 则离散后的A,B,C,D矩阵如下：

3、 双线性变换法

可以理解成是前向欧拉法和后向欧拉法的综合，理论上能提供更好的精度。

对于任意函数 (f(t))，其一阶导数可以通过双线性（梯形）近似为：

 类似的近似应用到状态空间方程，可得：

整理后可得：

 假设短时间内输入u(T+t)约等于u(t)，则上式化简为：

 求解方程，得：

四、三种离散方法效果对比

 由上图可看到，前向欧拉法结果偏大，后向欧拉法结果偏小，双线性变换的离散结果与连续线性方程基本一致，因此，后续控制器，观测器的设计则使用双线性变换的离散结果。

关于仿真模型源码，如果有需要的，等这个专栏更新完了一并在某宝店 <极简车辆控制>里发布。