文章目录
- 题目
- 时间复杂度
- 概念
- 时间复杂度的计算
- 解题思路
- 代码呈现
题目
链接: link
时间复杂度
概念
时间复杂度是一种函数，定量地描述了该算法运行的时间。既然是一种函数，就涉及到自变量与因变量。因变量代表是时间复杂的规模，自变量是时间复杂度的执行时间。这里的执行时间并不是秒，分钟这类的具体时间 ，它表示的是一种“执行次数”。要想计算时间复杂度首先得找到该算法中的循环，算法中循环执行的次数就是算法的时间复杂度 。
算法的时间复杂度的具体表示为：用大写的 O 来体现算法时间复杂度如O（f（n）），称之为 大 O 记数法。
时间复杂度的计算
注：可以理解为最坏情况下，算法的最高量级
一，单层for循环（线性阶）
判断一个数是偶数还是奇数，只需要求它除上 2 的余数是 0 还是 1，把所有数都判断一遍，并且对符合条件的情况进行计数，最后返回这个计数器就是答案，需要遍历所有的数，因此代码为：
int count(int n, int a[]) {int cnt = 0;for(int i = 0; i < n; ++i) {if(a[i] % 2)++cnt;}return cnt;
}
我们可以发现这里的算法只有一层fo循环，执行过程中需要遍历n遍，所以这里的时间复杂度为O(n)。
二 ，多层for循环（指数阶）
int fun(int n)
{int cnt = 0;for(int i = 0;i < n;i++){for(int j = 0; j<n; j++){cnt++; }}//两层循环，每次循环n次，因此为n*nfor(int k = 0; k<n; k++){++cnt;}//一层循环，循环n次for(int l = 0;l<10;l++){++cnt;}//一层循环，循环10次return cnt;
}
这里假如把所有的循环都算进去的话，时间复杂度就是O(nn+n+10)，但是我们并不能这样写。这是因为对于时间复杂度我们不需算出精确的数字，只需要算出这个算法属于什么量级即可。
所以在这里，为知道这个算法两级为多少，我们将字母n取为无穷大，这样10就无足轻重，然后时间复杂度就变成O(nn+n)，又因为nn远大于n，原式也可以表达成n(n+1)，即使-1也无关紧要，所以时间复杂度演变成O(n*n)。这就是大O渐近表示法，只是一种量级的估算，而不是准确的值。
三，冒泡排序（指数阶）
void bubblesort(int* a,int n)
{assert(a);
for(int end = n; end>0; end--){int exchange = 0;for(int i = 1; i<end; i++){if(a[i-1]>a[i]){swap(&a[i],&a[i-1]);exchange = 1;}}if(exchange==0)break;}
}
在这里我们会发现这边不是简单的两层for循环，而是呈现一个等差数列，第一次循环第一次循环n-1次，第二次n-2次…一直到1，如果这样的话，难道时间复杂度就要写成O(n*(n+1)/2)了吗。
然而并不用，通过上面的例子我们看出，我们所采用大O渐近表示法去掉了对结果影响不大的项，并且在实际情况中一般只关注算法的最坏运行情况。
因此这里的算法复杂度只要把一些加法常数、保留最高项就行，例如在上述冒泡排序中,如果给定的数组就已经是有序的了,那么就是它的最好情况,时间复杂度为O(N).但是如果有非常多的数据很显然我们看不出它到底是否为最好情况,所以我们必须用最坏的期望来计算所以它是O(N*N).
四，指定常数循环（常数阶）
int fun(int n)
{int i = 0;int cnt = 0;for( i; i<100;i++){cnt++;}return cnt;
}
此时时间复杂度为O(1)，这里的1不是指一次，而是常数次，该循环执行了100次，不管n多大，他都执行100次，所以是O(1)
五，二分查找（对数阶）
int binary(int n, int a[], int k)
{int left = 0, right = n - 1;while(l <= r) {mid = (l + r)/2;if(a[mid] == k) return mid;else if(a[mid] < k)right = mid + 1;elseleft = mid + 1;}return -1;
}
常见于二分查找中在有序数组中查找目标元素的算法。每次查找都将目标元素与数组中间的元素进行比较，如果相等则返回，如果目标元素小于中间元素，则在左半部分继续查找，否则在右半部分继续查找。每次查找都将搜索范围缩小一半
先找n/2，n/4，n/8一直到n等于1
因为这种算法，每多一次循环相当于，循环地覆盖范围变成了2^n，因此我们可以推出这个算法的时间复杂度为O( l o g 2 x log_{2}x log2x)
由此我们可以得出结论
1.去除表达式中所有加法常数
2.修改的表达式中只保留最高阶项,因为只有它对最终结果产生影响
3.如果最高阶项系数存在且不是1,则将其系数变为1,得出最后的表达式
4.如果循环过程中只有常数时，，取常数次为时间复杂度
常见的时间复杂度
线性阶就像上面第一题一样，只有一层循环，时间复杂度随n的增大线性增加，函数在图像上表示为一条经过原点的直线,O(N)
指数阶指数阶一般是算法题的暴力解法，一般是多层循环的嵌套，例如上面题二中，最大是两层n次循环的嵌套，因此时间复杂度为O(N^2)，n的平方次
常数阶函数内循环为常数次或者没有循环，例如上面第四题，时间复杂度为O(1)
对数阶表示算法的时间复杂度与输入模 n 的对数成正比，其中对数的底数未指定，默认为2,10或e，根据具体情况而定。这意味着算法的运行随着输入规模的增加而增加但增长速度较慢。
解题思路
题目中要求我们把时间复杂度控制在O(logn)里面，一般来说，这里的时间复杂度在没有设置底数的时候我们默认为10，这种算法随n增长较缓慢。
对于题目中找到最小的元素，我们第一个想到的就是最最暴力的冒泡排序，一个一个数遍历。
int findMin(int* nums, int numsSize) {int count = 1;for (int i = 0; i < numsSize; i++) {if (nums[i + 1] > nums[i])count++;elsebreak;}return nums[count];
}
这种方法固然可行，但是此时的时间复杂度为O(n)，比O( l o g 2 x log_{2}x log2x)大，对于算法复杂度的大小比较我们可以看成x随y的变换量，所以我们可以直观地知道这种粗暴的排序方法是不能够满足条件的，因此我们可以转变为二分查找，这种方法恰好符合题目所要求的时间复杂度
小tip：https://www.geogebra.org/download 是个很好的数学软件，可以画出函数等数学模型，更加直观便捷地感受数据
重新整理本题，一个不包含重复元素的升序数组在经过旋转之后，可以得到下面可视化的折线图
其中横轴表示数组元素的下标，纵轴表示数组元素的值。而图中标出了最小值的位置，就是我们需要查找的目标。
倘若使用二分查找的方法，我们就我们考虑数组中的最后一个元素 xxx：在最小值右侧的元素（不包括最后一个元素本身），它们的值一定都严格小于 xxx；而在最小值左侧的元素，它们的值一定都严格大于 xxx。因此，我们可以根据这一条性质，通过二分查找的方法找出最小值。
代码呈现
前者是基于left与right索引相同时出结果，即二分查找到数组只剩一个元素，然后直接输出left或right就行
int findMin(int* nums, int numsSize) {int left = 0;int right = numsSize - 1;while(left < right){int mid = (left + right) / 2;if (nums[mid] < nums[right])right = mid;elseleft = mid + 1;}return nums[left];//因为此时left与right的索引一致
}
