文章目录
- 一、基本概念
- 1.发展背景
- 2.性质
- 二、实现原理
- ①插入操作
- 1.平衡因子
- 1.1平衡因子的更新
- 1.1.1树的高度变化
- 1.1.2树的高度不变
- 2. 旋转
- 2.1左旋
- 2.2右旋
- 2.3右左双旋
- 2.4 左右双旋
- ②验证
- 1.求二叉树高度
- 2. 判断是否为AVL树
- 源码
- 总结
一、基本概念
1.发展背景
-
普通的二叉搜索树在极端情况下会退化成类似链表的形状,从而使查找的效率降低至O(N)。
-
在此基础上,苏联与以色列数学家
A
delson-V
elskii 与 苏联数学家L
andis,发明出了 AVL树或者说平衡二叉搜索树。
注:第一张——Adelson-Velskii(1922-2014) ,第二张——Landis(1921——1997)
2.性质
- 左右子树的高度差的绝对值不大于1
- 每个子树都是AVL树。
说明:这样做的目的就是为了严格控制平衡,以便于提高查找效率,但是控制高度差一直为0是不可能的,至于为什么不能控制成0,假设只有两个结点必然存在1的高度差。
二、实现原理
①插入操作
1.平衡因子
英文名:balance factor
- 目的:
保证左右子树的高度差的绝对值不大于1
- 大多数的实现方式:
存放的是右子树与左子树的高度差
1.1平衡因子的更新
1.1.1树的高度变化
① 左边新增结点
② 右边新增结点
- 总结
- 左边新增,根节点的平衡因子减1
- 右边新增,根节点的平衡因子加1
- 平衡因子从0变为1或者-1
继续分析:
两种情况树的高度增加1
,也就是平衡因子从0变为1或者-1
,既然高度变化了,可能会导致上面的树不平衡。
如:
此时我们需要向上更新平衡因子,再根据右边高度变化与左边高度变化,决定根的平衡因子加1还是减1。
- 推论:
由于可能会向上更新平衡因子,那么AVL树是三叉链的结构。
如图:
1.1.2树的高度不变
① 左边新增结点
② 右边新增结点
- 同理
- 左边新增,根节点的平衡因子减1
- 右边新增,根节点的平衡因子加1
- 平衡因子由1或者-1变为0
继续分析,这里的根节点的所在树的高度即——左右子树高度的最大值 + 1(根节点的高度)
左右子树的高度的最大值不变,即这颗树高度不变,即不用往上继续更新
且达到平衡。
2. 旋转
-
说明:旋转就是让
不平衡的树再次平衡的手段
。 -
条件:平衡因子为2或者-2,即高度差的绝对值为2。
-
补充:若平衡因子大于等于3,说明当前树就不是AVL树,需要检验之前的代码。
但是我们又得对情况进行分类讨论,因为不同情况让树再次平衡的旋转方式不同。
2.1左旋
- 说明:也就是右边高度高,需要旋转来降低右边的高度,进而达到平衡。
一步一步分析,先来个最简单的:
此时,旋转过后平衡因子全变为0,且当前树达到平衡。注意此时3结点的左结点为空!
(细节)
再举一个例子:
此时,旋转过后平衡因子1和3的平衡因子变为0,且当前树达到平衡,此时我们是不用管其它子树的,因为子树必然是AVL树,要不然更不到根节点就停止了
。
最后来一个稍微复杂的例子:
此时,旋转过后平衡因子-5和0的平衡因子变为0,且当前树达到平衡。
这是具体的图便于辅助理解,然后我们再画出所有情况的抽象图:
- 总结
只能
在c部分上插入结点才可能会引发根节点
左单旋,也就是说parent的右边为cur且新增结点在cur的右边
。- 旋转过后
cur与parent的平衡因子变为0
。
- 细节
- b的父节点连接parent时,需要判断b部分是否为空。
- parent的父节点连接cur时,需要保存一下parent的父节点。
- 根据parent的父节点判断是否需要修改根节点,若为空则修改,若不为空,则将cur链接到parent的父节点,同时更新parent父节点的指向。
- 实现代码
void RotateL(Node* parent){//画图分析://操作的结点有cur,cur_left,ppnodeNode* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;//将parent的右节点改为cur_leftparent->_right = cur_left;//改变cur_left父节点的转向//cur_left可能为空if (cur_left != nullptr){cur_left->_parent = parent;}//将parent链接在cur的左边//为了更新cur的parent需要保存parent的父节点Node* ppnode = parent->_parent;cur->_left = parent;parent->_parent = cur;//ppnode可能为空if (ppnode == nullptr){//需要修改根节点_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{//改变ppnode的指向if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}//更新平衡因子cur->_bf = parent->_bf = 0;}
2.2右旋
说明:也就是左边高度高,需要旋转来降低右边的高度,进而达到平衡。
跟左旋的分析方式一样。
先来个简单的感受一下:
此时,旋转过后平衡因子parent和cur的平衡因子变为0,且当前树达到平衡。
再举一个例子:
最后来一个稍微复杂的例子:
画出所有情况的抽象图:
- 总结
只能
在a部分上插入结点才可能会引发根节点
右单旋,也就是说parent与cur与高度变化的c树的根节点在同一个方向且在parent的左
- 旋转过后
cur与parent的平衡因子变为0
。
- 细节——同左旋
- b的父节点连接parent时,需要判断b部分是否为空。
- parent的父节点连接cur时,需要保存一下parent的父节点。
- 根据parent的父节点判断是否需要修改根节点,若为空则修改,若不为空,则将cur链接到parent的父节点,同时更新parent父节点的指向。
- 实现代码:
void RotateR(Node* parent){//操作的结点Node* cur = parent->_left;Node* cur_right = cur->_right;//第一步:将cur_right链接到parent的leftparent->_left = cur_right;//更改cur_right的父节点//注意:cur_right可能为空if (cur_right != nullptr){cur_right->_parent = parent;}//第二步:将parent链接到cur的右结点。//先保存一下parent的父节点Node* ppnode = parent->_parent;cur->_right = parent;parent->_parent = cur;//ppnode为空说明需要修改根节点if (ppnode == nullptr){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}//更新平衡因子cur->_bf = parent->_bf = 0;}
2.3右左双旋
- 可以简单理解为,需要进行处理的左旋。
说明:单旋无法解决问题,原因是发生了拐弯
,需要用右旋讲折线变为直线,再进行左旋
。
因为情况有点多我们就来个简单的,直接化抽象图,看结论比较容易理解。
先来个简单的:
先右旋之后折线变成了直线,变成了左旋的形状,再进行左旋,最后的cur与cur_left与parent的平衡因子变成了0,最终cur_left变成了根节点。
再化抽象图:
初始状态
还是一样,不过得分两种情况进行讨论:
- 新增结点在c树上,会导致parent的平衡因子变为-1,cur的平衡因子变为0。
- 新增结点在b树上,会导致parent的平衡因子变为0,cur的平衡因子变为1
- 不管新增结点在谁上,cur_left的平衡因子都为0。
-
看图分析,其实不看新增结点在谁身上,两种最终的旋转的结果是一样的,那我们其实只需先不看新增结点再画图,根据最终的结果再把新增结点添上,其实会更加直观。
-
总结
- 新增结点在c树上,会导致parent的平衡因子变为-1,cur的平衡因子变为0。
- 新增结点在b树上,会导致parent的平衡因子变为0,cur的平衡因子变为1。
- cur_left为新增结点,parent与cur的结点全为0。
- 实现代码:
void RotateRL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;//CL——CurLeftint CL_bf = cur_left->_bf;RotateR(cur);RotateL(parent);//更新平衡因子if (CL_bf == 0){cur->_bf = parent->_bf = cur_left->_bf = 0;//虽然没必要,但是起到了解耦的作用。}else if (CL_bf == 1){parent->_bf = -1;cur->_bf = cur_left->_bf = 0;}else if(CL_bf == -1){cur->_bf = 1;parent->_bf = cur_left->_bf = 0;}else{cout << __LINE__ << ":" << endl;perror("平衡因子有误");exit(-1);}}
2.4 左右双旋
- 可以理解为,需要进行处理的右旋。
说明:单旋无法解决问题,原因是发生了拐弯,需要用左旋讲折线变为直线,再进行右旋。
分析方法跟右左双旋一样。
先来个简单的:
先左旋之后折线变成了直线,变成了右旋的形状,再进行右旋,最后的cur与cur_left与parent的平衡因子变成了0,最终cur_left变成了根节点。
再来个抽象的:
还是一样,不过得分两种情况进行讨论:
- 新增结点在c树上,会导致cur的平衡因子变为-1,parent的平衡因子变为0。
- 新增结点在b树上,会导致cur的平衡因子变为0,parent的平衡因子变为1
- 不管新增结点在谁上,cur_right的平衡因子都为0。
- 总结
- cur_right平衡因子为1,说明新增结点在b树上,会导致cur的平衡因子变为0,parent的平衡因子变为1。
- cur_right的平衡因子为-1,新增结点在c树上,会导致cur的平衡因子变为-1,parent的平衡因子变为0。
- cur_right的平衡因子为0,cur与parent的平衡因子都变为0。
- 不管新增结点在谁上,cur_right的平衡因子都为0。
- 代码实现
void RotateLR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* cur_right = cur->_right;int CR_bf = cur_right->_bf;RotateL(cur);RotateR(parent);if (CR_bf == 0){parent->_bf = cur->_bf = cur_right->_bf = 0;}else if(CR_bf == 1){cur->_bf = -1;parent->_bf = cur_right->_bf = 0;}else if (CR_bf == -1){parent->_bf = 1;cur->_bf = cur_right->_bf = 0;}else{cout << __LINE__ << ":" << endl;perror("平衡因子有误");exit(-1);}}
②验证
说明:
- 根据定义验证每颗子树的高度差
- 需要判断当前的右子树的高度差是否等于平衡因子
直接根据平衡因子进行判断,有点监守自盗的感觉,你能保证自己更新的平衡因子就是正确的么?我都不敢保证。
1.求二叉树高度
- 后序遍历
size_t Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int LHeight = Height(root->_left);int RHeight = Height(root->_right);return max(LHeight, RHeight) + 1;}
2. 判断是否为AVL树
bool _IsAVLTree(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int RHeight = Height(root->_right);int LHeight = Height(root->_left);if (abs(RHeight - LHeight) > 1 || root->_bf != RHeight - LHeight){return false;}return _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right);}
优化一下:
bool IsAVLTree(){bool is_AVL = true;_IsAVLTree(_root, is_AVL);return is_AVL;}int _IsAVLTree(Node* root,bool& is_AVL){if (root == nullptr){return 0;}int RHeight = _IsAVLTree(root->_right, is_AVL);int LHeight = _IsAVLTree(root->_left, is_AVL);if (abs(RHeight - LHeight) > 1 || root->_bf != RHeight - LHeight){is_AVL = false;}return max(RHeight, LHeight) + 1;}
源码
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;
namespace MY_STL
{template<class Key,class Val>struct AVLTreeNode{typedef AVLTreeNode<Key, Val> Node;AVLTreeNode(const pair<Key,Val>& key = pair<Key,Val>()):_key(key.first),_val(key.second),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}Key _key;Val _val;//三叉链的结构Node* _left;Node* _right;Node* _parent;int _bf;};template<class Key, class Val>class AVLTree{typedef AVLTreeNode<Key, Val> Node;public:AVLTree(){}bool insert(const pair<Key,Val>& val){//第一步:插入操作//如果根节点为空if (_root == nullptr){_root = new Node(val);return true;}else{Node* cur = _root,*parent = _root;while (cur){if (cur->_key > val.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if(cur->_key < val.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = new Node(val);if (parent->_key > val.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}//更新新增结点的_parentcur->_parent = parent;//第二步:更新平衡因子//平衡因子://1. 定义为右子树的高度减去左子树的高度//2. 合法范围为{-1,0,1}//3. 新增结点在左,父节点的平衡因子减1//4. 新增结点在右,父节点的平衡因子加1//5. 当父节点的平衡因子变为0——由-1变0或者1变0时,此时AVL树的高度不变//6. 当父节点的平衡因子变为1或者-1,AVL子树的高度变化,继续向上变化。//7. 当父节点的平衡因子变为2或者-2时,此时需要旋转,进行平衡//8. 当父节点为根节点时,此时需要结束循环。while (cur != _root){//更新平衡因子if (parent->_left == cur){//左减1(parent->_bf)--;}else{//右加1(parent->_bf)++;}//判断平衡因子if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = cur->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//对旋转进行分类讨论//if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//{// //左单旋// RotateL(parent);//}//else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf = -1)//{// //右单旋// RotateR(parent);//}//else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//{// RotateRL(parent);//}//else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//{// RotateLR(parent);//}if (parent->_bf == 2){//左单旋if (cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else{RotateRL(parent);}}else{//右单旋if (cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else{RotateLR(parent);}}//旋转完成,树达到平衡break;}}return true;}}//根据定义进行判断bool IsAVLTree(){bool is_AVL = true;_IsAVLTree(_root, is_AVL);return is_AVL;//return _IsAVLTree(_root);}void Print(){_InOrder(_root);cout << endl;}//根据平衡因子进行判断//bool IsAVLTree()//{// return _IsAVLTree(_root);//}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}//bool _IsAVLTree(Node* root)//{// if (root == nullptr)// return true;// if (root->_bf >= 2 || root->_bf <= -2)// {// return false;// }// else// {// return _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right);// }//}//bool IsAVLTree()//{// bool is_AVL = true;// _IsAVLTree(_root, is_AVL);// return is_AVL;//}size_t Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int LHeight = Height(root->_left);int RHeight = Height(root->_right);return max(LHeight, RHeight) + 1;}int _IsAVLTree(Node* root,bool& is_AVL){if (root == nullptr){return 0;}int RHeight = _IsAVLTree(root->_right, is_AVL);int LHeight = _IsAVLTree(root->_left, is_AVL);if (abs(RHeight - LHeight) > 1 || root->_bf != RHeight - LHeight){is_AVL = false;}return max(RHeight, LHeight) + 1;}bool _IsAVLTree(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int RHeight = Height(root->_right);int LHeight = Height(root->_left);if (abs(RHeight - LHeight) > 1 || root->_bf != RHeight - LHeight){return false;}return _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right);}void RotateLR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* cur_right = cur->_right;int CR_bf = cur_right->_bf;RotateL(cur);RotateR(parent);if (CR_bf == 0){parent->_bf = cur->_bf = cur_right->_bf = 0;}else if(CR_bf == 1){cur->_bf = -1;parent->_bf = cur_right->_bf = 0;}else if (CR_bf == -1){parent->_bf = 1;cur->_bf = cur_right->_bf = 0;}else{cout << __LINE__ << ":" << endl;perror("平衡因子有误");exit(-1);}}void RotateRL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;//CL——CurLeftint CL_bf = cur_left->_bf;RotateR(cur);RotateL(parent);if (CL_bf == 0){cur->_bf = parent->_bf = cur_left->_bf = 0;}else if (CL_bf == 1){parent->_bf = -1;cur->_bf = cur_left->_bf = 0;}else if(CL_bf == -1){cur->_bf = 1;parent->_bf = cur_left->_bf = 0;}else{cout << __LINE__ << ":" << endl;perror("平衡因子有误");exit(-1);}}void RotateL(Node* parent){//画图分析://操作的结点有cur,cur_left,ppnodeNode* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;//将parent的右节点改为cur_leftparent->_right = cur_left;//改变cur_left父节点的转向//cur_left可能为空if (cur_left != nullptr){cur_left->_parent = parent;}//将parent链接在cur的左边//为了更新cur的parent需要保存parent的父节点Node* ppnode = parent->_parent;cur->_left = parent;parent->_parent = cur;//ppnode可能为空if (ppnode == nullptr){//需要修改根节点_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{//改变ppnode的指向if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}//更新平衡因子cur->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent){//操作的结点Node* cur = parent->_left;Node* cur_right = cur->_right;//第一步:将cur_right链接到parent的leftparent->_left = cur_right;//更改cur_right的父节点//注意:cur_right可能为空if (cur_right != nullptr){cur_right->_parent = parent;}//第二步:将parent链接到cur的右结点。//先保存一下parent的父节点Node* ppnode = parent->_parent;cur->_right = parent;parent->_parent = cur;//ppnode为空说明需要修改根节点if (ppnode == nullptr){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}//更新平衡因子cur->_bf = parent->_bf = 0;}Node* _root = nullptr;};
};
总结
AVL树还有删除操作,等博主有空再补充,对于AVL树一般来说只需要弄懂一种单旋,一种双旋,再加一些细写处理,代码是不难的,难就难在了分类讨论+画图上。今天的分享就到这里了,如果感觉有所帮助,不妨点个赞鼓励一下吧!