FPGA基本算术运算

  FPGA相对于MCU有并行计算、算法效率较高等优势，但同样由于没有成型的FPU等MCU内含的浮点数运算模块,导致一些基本的符号数、浮点数运算需要我们自己进行管理。因此需要我们对基本的运算法则进行了解。基本类别如下，即：

1 有符号数与无符号数

   无符号数即为没有符号的数，简单点就是全部为正数运算的数没有负数。有符号数字便是有正与负数的数。那么在同样位数的条件下，表示的有符号数范围更加少，如下。

reg [7:0] unsigned_a; //定义一个无符号8位数 //既然无符号，则可表示 0 - 0xFF,即 0 -255;//256 - 0x100 即超出了8位

  以上是无符号数的概念，而有符号数则为了表示符号，将补码的概念引入了基本数体系，建立了符号数体系。

符号体系中，补码即将数分为符号位和基本数位；最高位表示符号位，1为负，0为正数，其他基本数位则表示正常数码。

reg signed [7:0] sign_b; //8位有符号数 bit7:符号位; bit6-bit0: 数位//此时数位，最大只能表示0-127,较8位无符号数可表示范围减少一半

  同时，为了方便运算减法，建立了补码运算体系，即a-b可转换为 a + b[补码]。

​ 因此，定义，正数的原码、反码、补码均相同，负数原码、反码、补码经过以下运算得到：

//正数:8’d82 - 8'b0101_0010
//原码:8'b0101_0010
//反码:8'b0101_0010
//补码:8'b0101_0010//负数: -8’d82 
//原码:8'b0101_0010
//反码:8'b1010_1101 (原码取反)
//补码:8'b1010_1110 (反码 + 1)//8位有符号数：
//正数:  8’d127 补码: 8'hff
//....
//正数:  8’d2  补码: 8'h02
//正数:  8’d1  补码: 8'h01
//      8'd0   补码: 8'd0
//负数: -8’d1  补码: 8'hff
//负数: -8’d2  补码: 8'hfe
// ...
//负数: -8’d127  补码: 8'h81

  根据以上规则，发现0是个特殊的数字，+0的补码即是8‘h0,而-0的补码是8’h80，而0 仅仅就是0。于是一般规定，8’h80为-128。因此8位有符号数范围为[-128,127],相对于无符号数[0,255]，数值大小降低了一半。

2 浮点数及定点数

  浮点数主要是遵守 IEEE754 浮点数标准这里不再缀述。而定点数，即是固定小数点的一种方式，如

//十进制小数: 32.15 - 二进制：100000.00100110011001100110011001100110011001100110011
//保留10位二进制小数后 - 100000.0010011001 (32.1494140625) - 有截断误差
//定义定点数为Q10     - 即将原来的数乘以2^10 - 1000000010011001(32921)
//Qn  表示小数点在第几位前面

I、定点数的加减法

  不同定点数的加减要转换为同一定点格式才能相加减，即

//32.15 - 32921(Q10)
//15.62 - 7997(Q9)
//32.15 + 15.62 = 47.77
// 32921 + 7997* 2^(10-9) = 48915(Q10)
// 48915/ 2^10 = 47.7685546875 [有截断误差]

  Qm的定点数 +(-) Qn位的定点数{m>n}，需要将n位数定点扩展到同一位置，然后进行运算,结果为Qm。

  因此m位的定点数 +(-) n位的定点数，首先需要将结果变量扩展到m+1位（防止溢出）

II、定点数的乘除法

//32.15 - 32921(Q10)
//15.62 - 7997(Q9)
//32.15 * 15.62 = 502.183
// 32921 * 7997 = 263269237(Q19)
// 263269237/ 2^19 = 502.1462192535400390625 [有截断误差]

 Qm的定点数 *(/) Qn位的定点数{m>n}，结果为Q(m+n)。

  因此m位的定点数 *(/) n位的定点数，首先需要将结果变量扩展到m+n位（防止溢出）

3 仿真验证

i、加减法验证

对如下module进行激励测试：

module add(input [7:0] a,input [7:0] b,output [7:0] c);wire [8:0] add_out;
wire [8:0] sub_out;wire [7:0] add_out_2;
wire [7:0] sub_out_2;assign add_out = a+b;
assign sub_out = a-b;assign add_out_2 = a+b;
assign sub_out_2 = a-b;endmodule

第一阶段，a->8’d12; a->8’d35。

可以看到8位及9位的结果输出均正常，这时12-35=-23的结果自动变为补码。

第二阶段，a->-8’d12; a->8’d35。

第二阶段这里就发现了9位的输出结果明显不对，这里0xf4(-12) + 0x23 = 0x117;结果溢出了。正常情况，有符号数符号位不会参与运算，这里参与了运算导致了错误[主要是结果溢出导致]。

有两种办法进行修改：

1）将input 改为：

​ input signed [7:0] a,
​ input signed [7:0] b,

2）将加法运算进行扩展后计算

​ assign add_out = {a[7],a} + {b[7],b}; //扩展符号位
​ assign sub_out = {a[7],a} - {b[7],b};

结论：对于是否定义有无符号数，即使是无符号数，运算产生负数后，也会使用补码进行表示。但是如果计算结果存在溢出，则会产生错误，所以即使不使用signed类型也可，但需要注意位宽。

ii、乘除法验证

module chengc(input [7:0] c1,input [7:0] c2,output [7:0] d2);wire [15:0] mux_out;
wire [15:0] divid_out;wire [7:0] mux_out_2;
wire [7:0] divid_out_2;assign mux_out	 = c1 * c2;
assign divid_out = c1 / c2;assign mux_out_2   = c1 * c2;
assign divid_out_2 = c1 / c2;endmodule

与加减法相似，在溢出时，仍旧出现了符号位参与运算导致的错误。

这个时候进行如下修改：

module chengc(input signed [7:0] c1,input signed [7:0] c2,output [7:0] d2);wire signed [15:0] mux_out;
wire signed [15:0] divid_out;wire [15:0] mux_out_2;
wire [15:0] divid_out_2;assign mux_out	 = ({ {8{c1[7]}},c1}) * ( { {8{c2[7]}}, c2});
assign divid_out = ({ {8{c1[7]}},c1}) / ( { {8{c2[7]}}, c2});assign mux_out_2   = c1 * c2;
assign divid_out_2 = c1 / c2;endmodule

此时输出结果如下：

在除法运算中，符号位仍旧参与了运算，导致结果失常。因此这里并不推荐直接使用 * / ，FPGA最好使用片上自带的DSP模块进行运算，也可使用移位及加减进行近似运算。如：

//a * 0.625 = a * (0.10011101011100001010001111010111000010100011110101111)b//a * 1/2 + a*1/8 + a*1/16 + a*1/32 + ... +.. 进行近似运算

定点数乘除法，因已将定点数转为了整数，因此也可参考该过程。