1、无向图和有向图

\qquad 定义1. 设$V$为有穷集合，令 P 2 ( V ) = { { u , v } ∣ u , v ∈ V } P_2(V)=\{\{u,v\}|u,v \in V \} P2​(V)={{u,v}∣u,v∈V}表示$V$中任意两个元素的二元组集合，令$E\subseteq P_2(V)$表示$P_2(V)$中的任意子集，则称二元组($V,E$)为无向图。
\qquad 记作$G=(V,E)$，其中$V$表示定点集合，$E$表示边集合。 ∀ { u , v } ∈ E \forall \{u,v\} \in E ∀{u,v}∈E，称$u$和$v$邻接，边 { u , v } \{u,v\} {u,v}和顶点$u$和顶点$v$相关联。
\qquad 两个图$G=(V,E)$和$H=(U,F)$是相等的，当且仅当满足$V=U,E=F$。
\qquad $\forall G=(V,E)，|V|=p,|E|=q$，则称$G$为$(p,q)$图。 特殊地，称$(1,0)$为平凡图，$(p,0)$为零图。
\qquad 定义2. 设$V$为有穷集合，令$A\subseteq V\times V\backslash \{(v,v)|v\in V\}$表示有向边集合，则称$(V,A)$为有向图，记作$D=(V,A)$。
\qquad 需要注意，有向图和无向图中，$E$和$A$均是反自反的。

2、图的表示

2.1 图解表示

\qquad 给定顶点集合和边集合之后，可以直观地将图进行可视化绘制，这种表示方法称为图解表示法。

2.2 图的邻接矩阵表示

\qquad 将图的所有顶点分别构成一个二维矩阵的行列，将顶点之间的边关系表示在构成的矩阵之中，则称这个二维矩阵为图的邻接矩阵。

2.2 图的邻接表表示

\qquad 上述使用图的邻接矩阵表示图的时候，当图时一个稀疏图时(图中的边数量较少)，在图的存储时会浪费大量的存储空间，所以需要将图进行压缩存储。一种简单的方式就是利用图的邻接表来存储图。邻接表中表的头结点表示图中每一个顶点，邻接表中的每一个节点中有值域和指针域，值域存储图中节点的编号，指针域存储一个指针，指向和当前结点相邻接的其他结点。

3、子图

\qquad 给定一个图$G=(V,E)$，称$G_1=(V_1,E_1)$为图$G$的子图，当且仅当$V_1\in V$并且$E_1\in E$。
\qquad $G$的生成子图指的是包含$G$的所有顶点的子图$G^{\prime }$的，但是$G^{\prime }$中不包含$G$中所有的边。

4、度

\qquad $G=(V,E)$，对于$\forall v\in V$，与$v$相关联的边的条数称为顶点$v$的度，记作$degv$。

• 定理 1. (握手定理) 给定一个图$G=(V,E)$是一个$(p,q)$图，则有${\sum }_{v\in V}degv=2\ast q$，即$G$中顶点的度数是边点数量的两倍。
• 推论 1. 握过奇数次手的人有偶数个。
  \qquad 推论 1. 简单说明，因为有 定理 1. 成立，所以图中所有顶点的度数总和为偶数；将图中的顶点按照度数多少分为奇数点和偶数点，因为偶数乘以任何数都为偶数，说以奇数点的个数必定为偶数个。
  \qquad 记图$G$的最小度数节点为 δ ( G ) = m i n v ∈ V { d e g v } \delta(G) = min_{v \in V}\{deg \ v\} δ(G)=minv∈V​{deg v}，记图$G$的最大度数节点为 Δ ( G ) = m a x v ∈ V { d e g v } \Delta(G) = max_{v \in V}\{deg \ v\} Δ(G)=maxv∈V​{deg v}。

5、正则图

\qquad 给定一个$(p,q)$图$G=(V,E)$，如果$\forall v\in V$，均满足$degv=r$，则称$G$为 $r$-正则图。若$G$中所有顶点的度数均为$p-1$，则称$G$为完全图，即$p-1$-正则图即为完全图，记为$K_p$

6、同构

\qquad $G=(V,E)$，$H=(U,F)$，令$|V|=|U|$；如果$\exists \varphi :V\to U$，$\varphi$是一个双射，满足$(v_1,v_2)\in E\leftrightarrows \varphi (v_1)\varphi (v_2)\in F$，则称$G$和$H$是同构的，记作$G\cong H$。

7、路，圈和连通图

\qquad 通道： $G=(V,E)$，$G$的顶点和边的交错序列$v_0,x_0,v_1,x_1,...,x_n,v_n$ 称为$G$的一条通道，通道的程度为通道中边的数量，若$v_0=v_n$，则称这个通道为闭通道。
\qquad 迹： $G$ 的一条(闭)通道如果没有重复的边，则称其为一条(闭)迹。
\qquad 路： $G$ 的没有重复顶点的(闭)通道，称为（闭）路，闭路也称为圈。
\qquad 连通图： $G=(V,E)，\forall u,v\in V$，如果$u$和$v$之间有路，则称图$G$连通。

7.1 连通图的判定条件

\qquad (充分条件) 定理 1. $G=(V,E)$是一个$(p,q)$图，$\forall u,v\in V$, 如果$(u,v)\notin E$，且$degu+degv\ge p-1$，则称 $G$是连通的。
\qquad 图的极大连通子图：在一个非联通图中，任意一个连通的子图称为极大连通子图。之所以称为“极大”是因为连通子图中任意再多加一个点，则子图就变得不连通。
\qquad 推论. $G=(V,E)$是一个$(p,q)$图，若$\forall v\in V$，$degv\ge \lceil \frac{p}{2}\rceil$，则 $G$是连通的。

7.2 圈的判定条件

\qquad $G=(V,E)$图，$\forall v\in V$, 如果$G$中$v$顶点的度为偶数，则$G$中必定有圈存在。同时有：若$\delta (G)\ge m\ge 2$， 则有长度至少为$m+1$的圈存在。(可以使用最长路方法进行证明)。
\qquad $G=(V,E)$图，若$\forall u,v\in V$之间有两条不同的路，则$G$中有圈存在。

8、补图和双图

8.1 补图

\qquad 定义：设$G=(V,E)$， 则$G$的补图$G^c=(V,E^c)$，其中$E^c=P_2(V)/E$。若$G$和$H$同构，则$G^c$和$H^c$也同构，若$G$和$G^c$同构，则称，$G$为自同构。
\qquad 利用补图的定义，可以方便地证明在6个顶点的图$G$中，或者图$G$中有三角形存在，或者$G^c$中有三角形存在。

8.2 双图

\qquad 定义：设$G=(V,E)$，若存在一个$V$的二划分 { V 1 , V 2 } \{V_1, V_2 \} {V1​,V2​}，使得$\forall uv\in E,u\in V_1,v\in V_2$或者$u\in V_2,v\in V_1$，则称$G$为双图。
\qquad 定理 1. 设$G=(V,E)$是一个无向图，则$G$是双图的充分必要条件为：$G$中圈的长度为偶数。
\qquad 图兰定理. (在没有三角形的图中，完全双图的边数最多). 设$G=(V,E)$是$(p,q)$图，如果$G$中没有三角形，则$q\le \lceil \frac{p^2}{4}\rceil$

9、欧拉图

\qquad 定义图$G=(V,E)$，包含$G$中所有顶点和所有边的(闭)迹称为欧拉(闭)迹。
\qquad 包含欧拉(闭)迹的图称为欧拉图。
\qquad 欧拉定理：$G$是欧拉图，当且仅当$G$是连通的，且$G$中每一个顶点的度为偶数。
\qquad 定理2：图$G$中有一条欧拉开迹，当且仅当$G$中恰好有两个奇度顶点。
\qquad 定理3：假设$G$中有2$n$个奇度顶点，则$G$中至少有$n$条迹。

10、哈密顿图

\qquad 对于一个无向图$G=(V,E)$，如果$G$中有生成圈(每一个节点只走一次的环路)，则称$G$为哈密顿图。
\qquad 可以使用染色法来判别一个图$G$是否为哈密顿图，染色法是指在一个图中用两种不同的颜色进行染色，同一个边的两端的节点需要染成不同的颜色，图中所有节点均需要进行染色。若某个图$G$可以进行染色，满足每一条边的两个端点均为不同的颜色，同时满足不同颜色的节点数量不同，则这个图$G$一定不是哈密顿图。
\qquad 哈密顿图判定的必要条件：给定一个图$G=(V,E)$, 令$S\subseteq V$，令$|G-S|$表示从$G$中去除$S$之后图中剩余的枝的数量，$|S|$表示集合$S$中的节点数量, 当且仅当$|G-S|\le |S|$，则$G$为一个哈密顿图。

10.1 哈密顿图判定的充分条件

\qquad 定理1(Dirac定理). 给定一个图$G=(V,E)$是一个$(p,q)$图，$|V|=p>3$，如果$\forall v\in V$，$deg(v)\ge p/2$， 则$G$为哈密顿图。
\qquad 定理2(Ore定理). 给定一个图$G=(V,E)$是一个$(p,q)$图，$\forall u,v\in V,(u,v)\notin E$，若$deg(u)+deg(v)\ge p$，则$G$为哈密顿图。
\qquad 定理3. 给定一个图$G=(V,E)$是一个$(p,q)$图，$\forall u,v\in V,(u,v)\notin E$，若$deg(u)+deg(v)\ge p-1$，则$G$中有一个哈密顿路。

THE END