leetcode刷题(javaScript)——分治思想(二分查找、快速排序)相关场景题总结

分治思想是一种将问题分解成更小的子问题,然后解决子问题并将结果合并的算法设计策略。二分查找、快速排序和折半查找都属于分治思想的经典算法。在leetcode里,分治思想一般结合其他场景出现,构成复合型题目。但是在看题时一定要了解能否用分治思想去解决题目,避免使用复杂度过高的暴力解决方式;尤其是看到强调时间复杂度为O(logn)实现,那很可能是二分法了。

在实现这些分治算法时,通常会遵循以下逻辑:

  1. 分解(Divide):将原始问题分解成更小的子问题。这通常涉及将问题划分成相同规模的子问题,或者将问题划分成规模逐渐减小的子问题。

  2. 解决(Conquer):递归地解决子问题。对每个子问题递归地应用相同的算法,直到子问题规模足够小,可以直接求解。

  3. 合并(Combine):将子问题的解合并成原始问题的解。这一步通常涉及将子问题的解合并起来,得到原始问题的解。

快速排序

快速排序是一种经典的排序算法,采用了分治思想。其思想可以简单概括为以下几步:

  1. 选择一个基准元素(pivot):从待排序数组中选择一个元素作为基准元素。

  2. 分区(Partition):将数组中小于基准元素的元素放在基准元素的左边,大于基准元素的元素放在基准元素的右边,基准元素则位于最终排序位置。

  3. 递归排序:对基准元素左右两侧的子数组分别递归地应用快速排序算法。

  4. 合并:将左侧递归+基准元素+右侧递归合并返回。

快速排序的关键在于分区过程,通过不断地选择基准元素并分区,将数组分成两部分,左边部分小于基准元素,右边部分大于基准元素。递归地对左右两部分进行排序,最终实现整个数组的排序。快速排序的时间复杂度为O(nlogn),在平均情况下具有较高的效率。

function quickSort(arr) {if (arr.length <= 1) return arr;let mid = Math.floor(arr.length / 2);let pivot = arr.splice(mid, 1)[0];let left = [];let right = [];for (let i = 0; i < arr.length; i++) {if (arr[i] < pivot) {left.push(arr[i]);} else {right.push(arr[i]);}}return quickSort(left).concat(pivot).concat(quickSort(right));
}

二分查找

二分查找,也称为折半查找,是一种在有序数组中查找特定元素的算法。它的基本思想是将数组分成两部分,然后确定目标元素可能存在的那一部分,并继续在该部分进行查找,直到找到目标元素或者确定目标元素不存在。

具体的二分查找算法如下:

  1. 首先,确定数组的左边界和右边界,通常初始时左边界为0,右边界为数组长度减1。
  2. 计算中间位置的索引,即(left + right) / 2。
  3. 比较中间位置的元素与目标元素的大小关系:
    • 如果中间位置的元素等于目标元素,则找到了目标元素,返回其索引。
    • 如果中间位置的元素大于目标元素,则目标元素可能在左半部分,更新右边界为中间位置减1。
    • 如果中间位置的元素小于目标元素,则目标元素可能在右半部分,更新左边界为中间位置加1。
  4. 重复步骤2和步骤3,直到找到目标元素或者左边界大于右边界。

二分查找的时间复杂度为O(log n),其中n为数组的长度。由于每次查找都将数组规模减半,因此它的查找效率非常高。

 二分查找并插入元素示例:

function binarySearchInsert(arr, target) {let left = 0;let right = arr.length - 1;while (left <= right) {let mid = Math.floor((left + right) / 2);if (arr[mid] === target) {// 如果找到目标元素,则直接插入在该位置arr.splice(mid, 0, target);return arr;} else if (arr[mid] < target) {left = mid + 1;} else {right = mid - 1;}}// 如果未找到目标元素,则插入在合适位置arr.splice(left, 0, target);return arr;
}// 示例
const sortedArr = [1, 3, 5, 7, 9];
const target = 6;
const result = binarySearchInsert(sortedArr, target);
console.log(result);

704. 二分查找 

给定一个 n 个元素有序的(升序)整型数组 nums 和一个目标值 target  ,写一个函数搜索 nums 中的 target,如果目标值存在返回下标,否则返回 -1

 最原始的二分查找题目,如果target存在,那么在left和right无限逼近时一定会遍历完所有的元素,肯定会找到mid下标。如果不存在,while循环结束直接返回-1即可。

/*** @param {number[]} nums* @param {number} target* @return {number}*/
var search = function (nums, target) {let left = 0, right = nums.length - 1;let mid;while (left <= right) {mid = Math.floor((left + right) / 2);if (nums[mid] === target) return mid;if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else {right = mid - 1;}}return -1;
};

复杂度分析

    时间复杂度:O(log⁡n)O(\log n)O(logn),其中 nnn 是数组的长度。

    空间复杂度:O(1)O(1)O(1)。

 

374. 猜数字大小

猜数字游戏的规则如下:

  • 每轮游戏,我都会从 1 到 n 随机选择一个数字。 请你猜选出的是哪个数字。
  • 如果你猜错了,我会告诉你,你猜测的数字比我选出的数字是大了还是小了。

你可以通过调用一个预先定义好的接口 int guess(int num) 来获取猜测结果,返回值一共有 3 种可能的情况(-11 或 0):

  • -1:我选出的数字比你猜的数字小 pick < num
  • 1:我选出的数字比你猜的数字大 pick > num
  • 0:我选出的数字和你猜的数字一样。恭喜!你猜对了!pick == num

返回我选出的数字。

使用二分思想,找mid元素,通过leetcode提供的隐式guess方法获取mid是否找对。在left和right移动中,mid一定会找到该元素,因为一直都没找到,最后mid、left会和right重合,那么最后那个元素肯定是的了。

根据guess提供的-1还是1可以区分下次二分的位置是在左边还是右边

/** * Forward declaration of guess API.* @param {number} num   your guess* @return 	     -1 if num is higher than the picked number*			      1 if num is lower than the picked number*               otherwise return 0* var guess = function(num) {}*//*** @param {number} n* @return {number}*/
var guessNumber = function (n) {if (n == 1) return n;let left = 1, right = n;while (left <= right) {let mid = Math.floor((left + right) / 2);let gue = guess(mid);if (gue === 0) { return mid; }if (gue === -1) {right = mid - 1;} else {left = mid + 1;}}
};

35. 搜索插入位置

给定一个排序数组和一个目标值,在数组中找到目标值,并返回其索引。如果目标值不存在于数组中,返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

/*** @param {number[]} nums* @param {number} target* @return {number}*/
var searchInsert = function (nums, target) {let left = 0, right = nums.length - 1;let mid;while (left <= right) {mid = Math.floor((left + right) / 2);if (nums[mid] === target) {return mid;}if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else {right = mid - 1;}}return left;
};

69. x 的平方根 

给你一个非负整数 x ,计算并返回 x 的 算术平方根

由于返回类型是整数,结果只保留 整数部分 ,小数部分将被 舍去 。

注意:不允许使用任何内置指数函数和算符,例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5

这道题也是二分法的变种,只不过对中间元素的要求多了一步,即mid*mid要与x进行比较。

整体是对0-x进行折半查找,找到一个元素,使得它的平方接近于x。就要对left和right进行左右逼近目标元素。这里如果mid*mid=x则返回mid。如果没有,那么循环结束后左右指针会指向同一个元素,而这个元素的平方肯定大于x。题目要求向下取整,所以在循环外返回的是left-1

/*** @param {number} x* @return {number}*/
var mySqrt = function (x) {let left = 0; right = x;let mid;while (left <= right) {mid = Math.floor((left + right) / 2);if (mid * mid == x) {return mid;}if (mid * mid > x) {right = mid - 1;} else {left = mid + 1;}}return left-1;
};

367. 有效的完全平方数

给你一个正整数 num 。如果 num 是一个完全平方数,则返回 true ,否则返回 false

完全平方数 是一个可以写成某个整数的平方的整数。换句话说,它可以写成某个整数和自身的乘积。

不能使用任何内置的库函数,如  sqrt

 这道题跟上面是类似的,只不过不返回具体的值,而是true或false

/*** @param {number} num* @return {boolean}*/
var isPerfectSquare = function (num) {let left = 0, right = num;let mid = 0;while (left <= right) {mid = Math.floor((left + right) / 2);if (mid * mid == num) return true;if (mid * mid < num) {left = mid + 1;} else {right = mid - 1;}}return false;
};

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