P1044 ★★★☆☆ [NOIP2003 普及组] 栈

1. 审题

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即pop（从栈顶弹出一个元素）和push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，$1,2,\dots ,n$（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 $n$。

现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 $n$，计算并输出由操作数序列 $1,2,\dots ,n$ 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数 $n$（$1\le n\le 18$）。

输出格式

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。

样例1

输入

3

输出

5

2. 思路

题目要求计算给定操作数序列 $1,2,\dots ,n$ 的所有可能输出序列的总数。

设 dp[i] 表示操作数序列长度为 i 时的可能输出序列的总数。根据递推关系可得：

$$dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3]+...+dp[1]$$

这样，就是考到前缀和了。

穿插：
【不知道前缀和怎么写？看这个教程：
https://blog.csdn.net/joe_g12345/article/details/135035825】

其中，dp[i-1] 表示在操作数序列长度为 i-1 的情况下，通过 push 得到的可能输出序列的总数；dp[i-2] 表示在操作数序列长度为 i-2 的情况下，通过 push 和 pop 得到的可能输出序列的总数；以此类推。

当然我们也可以直接用卡特兰公式（不过考试的时候那么紧张，应该想不到，呵呵）。

3. 参考答案

3.1 卡特兰公式

#include <iostream>
using namespace std;int n;
long long f[25];int main()
{f[1] = 1;cin >> n;for (int i = 2; i <= n; i++){// 卡特兰公式f[i] = f[i - 1] * (4 * i - 2) / (i + 1);}cout << f[n] << endl;return 0;
}

3.2 前缀和

#include <iostream>
using namespace std;int n;
long long dp[25];int main()
{cin >> n;dp[1] = 1; // 空栈也算一种序列for (int i = 2; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= i; j++){dp[i] += dp[j]; // push操作}}cout << dp[n] << endl;return 0;
}