70. 爬楼梯 （进阶）

https://programmercarl.com/0070.%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%89%88%E6%9C%AC.html

• 考点
  • 完全背包
• 我的思路
  • 本题就是用完全背包的思路解决排列问题，一个背包、多个物品（无限拿取）求装满背包有多少种排列
• 视频讲解关键点总结
  • 无视频
• 我的思路的问题
  • 无
• 代码书写问题
  • 无
• 可执行代码

class Solution:def climbStairs(self, n: int) -> int:dp = [0] * (n + 1)dp[0] = 1for j in range(1, n + 1):for i in range(1, 3):if j >= i:dp[j] += dp[j - i]return dp[-1]

322. 零钱兑换

视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV14K411R7yv
https://programmercarl.com/0322.%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2.html

• 考点
  • 动态规划
  • 完全背包
• 我的思路
  • 给定一个背包容量和多个物品，求装满背包使用的最少物品个数，如果物品无法装满背包，返回-1
  • dp[j] 的含义是当容量为 j 时，装满背包所用的物品的最少个数
  • 递推公式，dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1)，求取当前物品和不取当前物品对应的最小值为dp值
  • 关键点1，初始化，这是一个本题的关键
    • 首先当j 为 0时，初始化dp为0，这点没有问题
    • 对于剩下的dp数组（非零下标），应该怎么初始化？这就要基于递推公式来分析了，递推公式中对于后续每个值，都是基于最小化的思想来迭代的，如果dp数组全初始化为0，则后续递推过程由于取最小值，整个dp数组将保持为0；所以，应该在初始化时，把后面的dp值初始化为一个极大值，这样才能保证递推过程正常进行
  • 遍历顺序——内外双循环（可以相互颠倒，因为本题既不是组合问题也不是排列问题，求最小数量和取物品的顺序无关），内外层循环均正向遍历（因为是完全背包问题，每个物品可以取多次）
  • 关键点2，对于物品无法装满背包的判断
    • 什么情况下物品装不满背包？其实就是无论怎么组合，背包最后所剩的容量小于重量最小的物品，这种情况下背包无法装满
    • 由于在递推公式中，如果背包容量小于物品重量，该dp值将保持初始化时的极大值，因此，如果dp递推结束后，对应的dp[-1]的值为初始化的极大值，则代表背包无法装满，此时返回-1
• 视频讲解关键点总结
  • 本题求最小数量既不是组合问题也不是排列问题，其与取物品的顺序无关
• 我的思路的问题
  • 对于内外层循环是否能颠倒一开始没想明白，以为本题是组合问题，其实本题无关顺序
• 代码书写问题
  • 可以利用float('inf')来取极大值
• 可执行代码

class Solution:def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:dp = [float('inf')] * (amount + 1)dp[0] = 0for i in range(len(coins)):for j in range(1, amount + 1):if j >= coins[i]:dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1)if dp[-1] == float('inf'):return -1return dp[-1]

279.完全平方数

• 考点
  • 动态规划
  • 完全背包
• 我的思路
  • 先找到所有比目标值小的完全平方数（可以通过int(sqrt(i)) == sqrt(i)来判断）
  • 之后背包容量是目标值，物品是完全平方数集合，无限次拿取，看装满背包的最小物品数是多少
• 视频讲解关键点总结
  • 关键点1，不需要寻找完全平方数，从1开始遍历数字 i ，之后递推公式里用 i ** 2 代替 i 即为使用完全平方数了
  • 关键点2，遍历背包容量时从i ** 2开始遍历即可，因为小于该数值，当前物品一定无法被放入背包，所以dp值不变，不需要进行额外操作
• 我的思路的问题
  • 遗漏一个关键，本题一定能找到满足题意的组合，因为完全平方数里有1，能组出来任意数字
  • 光想着如何判断一个数字是不是完全平方数了，没想到可以直接通过顺序遍历得到所有的完全平方数
• 代码书写问题
  • 无
• 可执行代码

class Solution:def numSquares(self, n: int) -> int:dp = [float('inf')] * (n + 1)dp[0] = 0for num in range(1, int(sqrt(n)) + 1):for j in range(num ** 2, n + 1):dp[j] = min(dp[j], dp[j - (num ** 2)] + 1)return dp[-1]