宽带波束形成

上一篇介绍了窄带波束形成,当信号的带宽增加,窄带波束形成的性能会降低很多。

首先从窄带beamforming说起

阵列模式:M个阵元组成的线性阵列

当有M个输入信号s_{m}(t)m=0,1,...,M-1,对应的信号的入射方向为\theta _{m}m=0,1,...,M-1。第一个信号s_{0}(t)是感兴趣信号,其他信号是干扰信号。每一个信号对应的方向向量\mathbf{d_{m}}的表达式为:

理想情况下,我们的目标是为感兴趣的信号构造一个固定的响应,并且使得干扰信号的响应是0。为了简化,在这里不考虑噪声。如上的条件可以通过一个矩阵方程描述:

显然,只要等式左边的矩阵是满秩,总能够找到一组阵列权重将M-1个干扰信号消除。满足完全消除的阵列权重的值依赖与信号的频率和信号的到达方向。

对于宽带信号,每一个信号包含无限多不同频率成分,对于不同的频率而言,阵列权重值不同。可以将权重矩阵写成如下形式,对于每一个频率w对应的权重:

对于不同的频率,都需要计算一个\mathbf{w}(w),窄带波束形成处理宽带信号显然效率很低。

宽带波束形成器的结构

有两类获取频率相关的权重的方法:

  1. 传感器延时线SDLs(sensor delay-lines)
  2. 抽头延时线TDLs(tapped delay-lines)或者FIR/IIR滤波器

我们介绍第2种方法:TDLs。TDLs和FIR/IIR滤波器是通过执行时域滤波过程,为每一个接收到的宽带传感器信号,构造频率相关的响应,从而补偿不同频率成分的相位差。这种结构如下图所示。

上图的宽带波束形成器结构对波场进行空间和时间的采样。宽带波束形成器可以表示成:

M是阵元的个数,J-1是每个阵元通道的延时单元的个数。T_{s}是相邻抽头的延时(对于数字信号就是采样时间)

将宽带波束形成器表示为矩阵的形式

\mathbf{w}一共有M乘以J个权重系数

每一个列向量\mathbf{w_{i}}i=0,1,...,J-1包含M个复共轭系数,位于M抽头延时线的第i个抽头

同样输入信号可以表示为一个列向量:

\mathbf{x}_{i}(t-iT_{s})i=0,1,...,J-1是M个阵列的第i个延时数据

\mathbf{x_{i}}(t-iT_{s}) = [x_{0}(t-iT_{s}), x_{1}(t-iT_{s}),...,x_{M-1}(t-iT_{s})]^{T}

J=1时,就变成了窄带波束形成。

宽带beamformer的波束响应

对于复平面波信号e^{jwt},假设x_{0} = e^{jwt},则

m=0,1,...,M-1,i=0,1,...,J-1

注意这里x是小写并且没有加粗,m代表阵元的编号。

P(\theta,w)波束响应,与信号的频率和角度相关,用向量表式:

\mathbf{d}(\theta ,w)是转向向量,长度为M乘以J

J=1时,就变成了窄带波束形成中介绍的转向向量了。

类似上一篇介绍的窄带波束形成,现在对阵列进行规定:

线性阵列,阵元间距是d

\tau _{m}=m d sin \theta / c

w = 2 \pi c/\lambda

w\tau _{m} = m(2\pi d sin \theta )/\lambdam=0,1,...,M-1

为了避免空域混叠,d < \lambda _{min}/2\lambda _{min}是信号最高频率成分w_{max}对应的波长。假定阵列可操作的频率w\in [w_{min}, w_{max}],并且d = \alpha \lambda _{min}/2\alpha \leqslant 1

\Omega = w T_{s}

\mu = d / (c T_{s})

c是波的速度

w(\tau _{m} + iT_{s}) = \Omega/T_{s} (m d sin \theta/c) +w i \Omega /w =\Omega (d/(cT_{s})) m sin \theta + i \Omega = m\mu \Omega sin \theta + i \Omega

是第m个阵元的抽头延时线(FIR滤波器)系数的离散傅里叶变换。当\alpha =1T_{s} = T_{min},则\mu =1T_{min}是信号最高频率成分对应的采样周期。

宽带波束形成的波束响应与信号入射角\theta以及\Omegaw)有关。

参考:Wei Liu《Wideband Beamforming》University of Sheffifield, UK

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