宽带波束形成

上一篇介绍了窄带波束形成，当信号的带宽增加，窄带波束形成的性能会降低很多。

首先从窄带beamforming说起

阵列模式：M个阵元组成的线性阵列

当有 $M$ 个输入信号 $s_{m}(t)$ ， $m=0,1,...,M-1$ ，对应的信号的入射方向为 $\theta _{m}$ ， $m=0,1,...,M-1$ 。第一个信号 $s_{0}(t)$ 是感兴趣信号，其他信号是干扰信号。每一个信号对应的方向向量 $\mathbf{d_{m}}$ 的表达式为：

理想情况下，我们的目标是为感兴趣的信号构造一个固定的响应，并且使得干扰信号的响应是0。为了简化，在这里不考虑噪声。如上的条件可以通过一个矩阵方程描述：

显然，只要等式左边的矩阵是满秩，总能够找到一组阵列权重将M-1个干扰信号消除。满足完全消除的阵列权重的值依赖与信号的频率和信号的到达方向。

对于宽带信号，每一个信号包含无限多不同频率成分，对于不同的频率而言，阵列权重值不同。可以将权重矩阵写成如下形式，对于每一个频率 $w$ 对应的权重：

对于不同的频率，都需要计算一个 $\mathbf{w}(w)$ ，窄带波束形成处理宽带信号显然效率很低。

宽带波束形成器的结构

有两类获取频率相关的权重的方法：

传感器延时线SDLs（sensor delay-lines）
抽头延时线TDLs（tapped delay-lines）或者FIR/IIR滤波器

我们介绍第2种方法：TDLs。TDLs和FIR/IIR滤波器是通过执行时域滤波过程，为每一个接收到的宽带传感器信号，构造频率相关的响应，从而补偿不同频率成分的相位差。这种结构如下图所示。

上图的宽带波束形成器结构对波场进行空间和时间的采样。宽带波束形成器可以表示成：

$M$ 是阵元的个数， $J-1$ 是每个阵元通道的延时单元的个数。 $T_{s}$ 是相邻抽头的延时（对于数字信号就是采样时间）

将宽带波束形成器表示为矩阵的形式

$\mathbf{w}$ 一共有 $M$ 乘以 $J$ 个权重系数

每一个列向量 $\mathbf{w_{i}}$ ， $i=0,1,...,J-1$ 包含 $M$ 个复共轭系数，位于M抽头延时线的第 $i$ 个抽头

同样输入信号可以表示为一个列向量：

$\mathbf{x}_{i}(t-iT_{s})$ ， $i=0,1,...,J-1$ 是M个阵列的第 $i$ 个延时数据

$\mathbf{x_{i}}(t-iT_{s}) = [x_{0}(t-iT_{s}), x_{1}(t-iT_{s}),...,x_{M-1}(t-iT_{s})]^{T}$

当 $J=1$ 时，就变成了窄带波束形成。

宽带beamformer的波束响应

对于复平面波信号 $e^{jwt}$ ，假设 $x_{0} = e^{jwt}$ ，则

， $m=0,1,...,M-1,i=0,1,...,J-1$

注意这里 $x$ 是小写并且没有加粗， $m$ 代表阵元的编号。

$P(\theta,w)$ 是波束响应，与信号的频率和角度相关，用向量表式：

$\mathbf{d}(\theta ,w)$ 是转向向量，长度为 $M$ 乘以 $J$ 。

当 $J=1$ 时，就变成了窄带波束形成中介绍的转向向量了。

类似上一篇介绍的窄带波束形成，现在对阵列进行规定：

线性阵列，阵元间距是 $d$ ，

$\tau _{m}=m d sin \theta / c$

$w = 2 \pi c/\lambda$

$w\tau _{m} = m(2\pi d sin \theta )/\lambda$ ， $m=0,1,...,M-1$

为了避免空域混叠， $d < \lambda _{min}/2$ ， $\lambda _{min}$ 是信号最高频率成分 $w_{max}$ 对应的波长。假定阵列可操作的频率 $w\in [w_{min}, w_{max}]$ ，并且 $d = \alpha \lambda _{min}/2$ ， $\alpha \leqslant 1$ 。

$\Omega = w T_{s}$

$\mu = d / (c T_{s})$

$c$ 是波的速度

$w(\tau _{m} + iT_{s}) = \Omega/T_{s} (m d sin \theta/c) +w i \Omega /w =\Omega (d/(cT_{s})) m sin \theta + i \Omega = m\mu \Omega sin \theta + i \Omega$