题目描述

给定一个数列 A=(a1​,a2​,⋯,an​)，问有多少个区间 [L,R] 满足区间内元素的乘积等于他们的和。

输入描述

输入第一行包含一个整数 n，表示数列的长度。

第二行包含 n 个整数，依次表示数列中的数 a1​,a2​,⋯,an​。

输出描述

输出仅一行，包含一个整数表示满足如上条件的区间的个数。

输入输出样例

示例

输入

4
1 3 2 2

输出

6

样例解释

符合条件的区间为 [1,1], [1,3], [2,2], [3,3], [3,4], [4,4]。

评测用例规模与约定

对于 20% 的评测用例，n ≤ 3000；

对于 50% 的评测用例，n ≤ 20000；

对于所有评测用例，1 ≤ n ≤ 200000,1 ≤ ai ​≤ 200000。

作者题解

通过题意可以知道，我们其实就是想要找到满足区间和等于区间积的区间个数，根据评测用例规模我们不难发现，如果暴力计算从任意一个数开始的任意长度的区间，一定会超时。

暴力计算除了超时，还有一个问题就是，乘积的变化是非常巨大的。虽然我们可以考虑到使用大数类，但不妨我们考虑一下，如果满足要求的结果是区间积等于区间和，那么如果从某个时刻起，区间积已经比理论区间和的最大值还要大了，是不是就可以停下来了，那么不难发现，理论区间和最大值就是2e5 * 2e5。

进一步思考，既然区间积的变化速度那么快，即便只有2，连续起来的增长速度也远超区间和的增长速度，而区间积的增长速度要想比区间和慢，使最终达到平衡，那就只有1这个值是满足要求的。

于是我们便可以从1这个数值开始考虑，我们不难发现，在新加入区间的数值里，如果加入1，会使得区间和变大，而区间积不变；如果加入其他数值，则不可控。这就给了我们启示，总结一下就是：

如果某个区间的区间和比区间积要小，那么只要在这个区间的左右两边填充足够数量的1，就可以使得区间和等于区间积。

由此我们便可以想到，什么样的区间可以在左右两边加1呢，我们只要收集所有不是1的数的下标，由此进行遍历查找，是不是就可以找到每个左右两边可以填充1的区间了。

区间和我们可以使用前缀和直接拿到，而只考虑非1的数还有一个好处，就是计算区间积的时候我们同样可以忽略1的存在，只对非1的数做乘法运算，因为乘1不会影响区间积。

编码思路

具体的，我们可以在读取数据的时候使用pre数组记录前缀和，便于我们计算区间和。

我们可以创建一个动态数组ArrayList记录所有不为1的数据下标；并且在其前面加上数值0，末尾加上数值n+1，其目的是为了方便计算整段数据首尾的1的个数。

ans的计算也尤为关键，假设我们查询的某个区间刚好区间和等于区间积，那么两侧加1都会导致区间和变大而区间积不变，此时两侧的1就是多余的，仅对ans做++运算即可。

假设此时我们区间和小于区间积，那么意味着可以通过两侧补1的方式实现相等，那么就要具体分析并分类讨论：

现在令左边有left个1，右边有right个1，而我们需要need个1。

如果左右两侧的1数量足够多，那么任意一侧都可以填充(0,1,2,...need)个1来满足要求，总共就是need+1个区间。

如果只有一侧的1数量足够多，那么1的数量较少的区间便成为了我们的限制，于是满足要求的区间数量就变成了min(left, right)+1个区间，原理跟上面的差不多。

那么如果两侧的1数量都不是足够多，但加起来又足以满足need，那么多出来的1的个数便成为了我们的限制；假设left+right刚好等于need，那么我们就只有一种区间选取方式，而不论任意一侧多余出来了一个1，我们可以选取的区间就有了左/右移动一个位置的可能性。

于是我们可以想到，在上述这种情况下，满足要求的区间数量为：left+right-need+1

具体代码

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.*;public class Main {public static void main(String[] args) throws Exception{BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));String[] temp = in.readLine().split(" ");int n = Integer.parseInt(temp[0]);// data表示原始数据int[] data = new int[n + 1];// pre记录前缀和long[] pre = new long[n + 1];// list用于记录非1数据的下标ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();// 首部加0，尾部加n+1，是为了方便计算首尾1的个数list.add(0);temp = in.readLine().split(" ");for (int i = 1; i <= n; i++) {data[i] = Integer.parseInt(temp[i - 1]);pre[i] = pre[i - 1] + data[i];if (data[i] != 1) {list.add(i);}}list.add(n + 1);// 以下是具体算法部分long ans = 0;// 遍历list除了首尾部分的剩余内容，其指的是非1的数据下标for (int i = 1; i < list.size() - 1; i++) {// s表示的区间积// 每次遍历时，s都默认是i所在的位置值，并且先不考虑单个数构成的区间long s = data[list.get(i)];for (int j = i + 1; j < list.size() - 1; j++) {// 随着j每往后移动到一个新的不为1的位置，s需要进行更新s *= data[list.get(j)];// 如果s大于区间和理论最大值，就不必再计算了// 由于区间积的增长速度很快，所以这个优化很关键// 具体的说，可以使内层循环j的运行次数绝对低于log2(2e5 * 2e5)，差不多是35左右if (s > 2e5 * 2e5) {break;}// sum记录当前考虑的不为1的数之间的区间和，注意细节不要写错long sum = pre[list.get(j)] - pre[list.get(i) - 1];if (sum <= s) {if (sum == s) { //如果sum刚好和区间积相等，满足要求的区间只会增加1个ans++;} else {    // 如果有多的，分类讨论// left记录左边1的个数，right记录右边1的个数，need表示需要1的个数int left = list.get(i) - list.get(i - 1) - 1;int right = list.get(j + 1) - list.get(j) - 1;long need = s - sum;if (left >= need && right >= need){         // 如果两侧的1都足够多，就有need+1种选取方式ans += need + 1;} else if (left >= need || right >= need) { // 如果只有一侧1足够多ans += Math.min(left, right) + 1;} else if (left + right >= need) {          // 如果两侧都不足够多，但加起来还是够用了ans += left + right - need + 1;}// 如果两侧加起来都不够need，那就直接忽略}}}}// 我们计算的时候忽略了所有单数据区间，而但数据区间一定满足要求，于是加上n进行输出System.out.println(ans + n);}
}