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深度强化学习（一）（基础概念）

一.马尔可夫决策过程

Agent:智能体，动作或决策对象

Environment: 与智能体交互的对象，可随时间变化

State：对某一时刻的环境的概括

State space（$\mathcal{S}$）:所有可能存在的状态集合。（可以是有限也可以是无限）

Action：智能体对于当前状态做出的决策。（可以是确定的，也可以是随机的）

Action space（$\mathcal{A}$）：所有可能的动作集合。

Reward：Agent执行某一动作之后环境的回报。通常记作$r(s,a,s^{\prime })$（与当前状态，下一刻状态，当前动作都有关），或$r(s,a)$（与下一刻状态无关）

State transition：Agent从当前时刻$t$从状态$s$转移至$s^{\prime }$状态的过程。状态转移通常是随机的，我们用状态转移概率函数来描述随机性，在当前状态$s$，智能体执行动作$a$，环境的状态变成$s^{\prime }$。（第一个随机性）
$$p_t(s^{\prime }|s,a)=\mathbb{P}(S_{t+1}^{\prime }=s^{\prime }|S_t=s,A_t=a)$$
状态转移具有马尔可夫性质，即下一时刻状态 $S_{t+1}$ 仅依赖于当前状态 $S_t$ 和动作 $A_t$, 而不依赖于过去的状态和动作。
$$\mathbb{P}\left(S_{t+1}\mid S_t,A_t\right)=\mathbb{P}\left(S_{t+1}\mid S_1,A_1,S_2,A_2,\cdots ,S_t,A_t\right)$$
状态转移也可以是确定性的。给定当前的状态$s$，智能体执行动作$a$，下一刻的状态已经确定。

实际中，通常假设状态转移概率函数是平稳的，即函数不会随着时刻$t$变化。

二.策略

强化学习的目标就是得到一个策略函数，在每个时刻根据观测到的状态做出决策。 策略可以是确定性的，也可以是随机性的。

随机策略：把状态记作 $S$ 或 $s$, 动作记作 $A$ 或 $a$, 随机策略函数 $\pi :\mathcal{S}\times \mathcal{A}\mapsto [0,1]$是一个概率函数（第二个随机）:
$$\pi (a\mid s)=\mathbb{P}(A=a\mid S=s)$$
确定策略：确定策略记作 $\mu :\mathcal{S}\mapsto \mathcal{A}$, 它把状态 $s$ 作为输入, 直接输出动作 $a=\mu (s)$,而不是输出概率值。对于给定的状态 $s$, 做出的决策 $a$ 是确定的, 没有随机性。可以把确定策略看做随机策略的一种特例，即概率全部集中在一个动作上。

智能体与环境交互 (agent environment interaction) ：是指智能体观测到环境的状态$s$, 做出动作 $a$, 动作会改变环境的状态, 环境反馈给智能体奖励 $r$ 以及新的状态 $s^{\prime }$ 。

三.回报与折扣回报

回报（return） 是从当前时刻开始到本回合结束的所有奖励的总和, 所以回报也叫做累计奖励 (cumulative future reward) 。把 $t$ 时刻的回报记作随机变量 $U_t$ 。如果一回合游戏结束, 已经观测到所有奖励, 那么就把回报记作 $u_t$ 。设本回合在时刻 $n$ 结束。定义回报为:
$$U_t=R_t+R_{t+1}+R_{t+2}+R_{t+3}+\cdots +R_n.$$

折扣回报 (discounted return) 给未来的奖励做折扣，其中$\gamma \in [0,1]$叫做折扣率
$$U_t=R_t+\gamma \cdot R_{t+1}+{\gamma }^2\cdot R_{t+2}+{\gamma }^3\cdot R_{t+3}+\cdots$$

符号约定

$A_t$:$t$时刻的动作（随机变量）	$a_t$:$t$时刻观察到的动作（具体值）
$S_t$:$t$时刻的状态（随机变量）	$s_t$:$t$时刻的状态观测值（具体值）
$R_t$:$t$时刻奖励(随机变量)	$r_t$:$t$时刻奖励观测值(具体值)
$U_t$:$t$时刻的回报(随机变量)	$u_t$:$t$时刻观测到的回报(具体值)

四.价值函数

4.1 动作价值函数

假设我们已经观测到状态$s_t$，而且做完决策选中动作$a_t$。我们想知道这一行为能为我们带来多少收益$U_t$。一个很自然的想法是对$U_t$求期望
$$Q_{\pi }\left(s_t,a_t\right)={\mathbb{E}}_{S_{t+1},A_{t+1},\cdots ,S_n,A_n}\left[U_t\mid S_t=s_t,A_t=a_t\right]$$
不难看出$Q_{\pi }\left(s_t,a_t\right)$取决于三元组$(\pi ,s_t,a_t)$,除了与状态$s_t$,动作$a_t$有关，还与所采用的策略有关

4.2 最优动作价值函数

为了排除掉策略$\pi$的影响，只评价当前状态和动作的好坏,由此产生最优动作价值函数（optimalaction-value function）：
$$Q_{\star }\left(s_t,a_t\right)=\underset{\pi }{\max }{Q}_{\pi }\left(s_t,a_t\right),\forall s_t\in \mathcal{S},a_t\in \mathcal{A}$$
最好的策略函数则为
$${\pi }^{\star }=\mathrm{argmax}{Q}_{\pi }\left(s_t,a_t\right),\forall s_t\in \mathcal{S},a_t\in \mathcal{A}$$

4.3 状态价值函数

为排除动作$a_t$的影响，仅评价当前状态和策略，我们有状态价值函数（state-value function）：
$$\begin{array}{rl}{V}_{\pi }\left(s_t\right)& ={\mathbb{E}}_{A_t\sim \pi \left(\cdot \mid s_t\right)}\left[Q_{\pi }\left(s_t,A_t\right)\right]\\ & =\sum _{a\in \mathcal{A}}\pi \left(a\mid s_t\right)\cdot Q_{\pi }\left(s_t,a\right)\\ & ={\mathbb{E}}_{A_t}\left[Q_{\pi }(s_t,A_t)|S_t=s_t\right]\end{array}$$
或者也可写成
$$V_{\pi }\left(s_t\right)={\mathbb{E}}_{A_t,S_{t+1},A_{t+1},\cdots ,S_n,A_n}\left[U_t\mid S_t=s_t\right]$$