动态规划

动态规划（DP）是一种对问题的状态空间进行分阶段、有顺序、不重复、决策性遍历的算法。
关键与前提
- 重叠子问题：与递归、分治等一样，要具有同类子问题，用若干维状态表示。
- 最优子结构：状态对应着一个最优化目标，并且最优化目标之间具有推导关系。
- 无后效性：问题的状态空间是一张有向无环图（可按一定的顺序遍历求解）
- 动态规划一般采用递推的方式实现，可以写成递归或搜索的形式，因为每个状态只遍历一遍，也被称为记忆化搜索。
动态规划三要素：阶段（线性增长）、状态（具有最优子结构）、决策（找到子问题）。
动态规划打印方案：记录转移路径 + 递归输出
- 动态规划选取 “代表”，维护了一个最优子结构。
- 如果记录每个最优子结构的详细方案，时间复杂度会上升。

动态规划模版

// 0. Move index to 1-based
// 1. Define f, initialize 
// 2. Loop over all states
// 3. Copy decisions
// 4. return target
int maxProfit(vector<int>& prices) {int n = prices.size();// 0. move index to 1-basedprices.insert(prices.begin(), 0);// 1. define f, initvector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(2, -1e9));f[0][0] = 0;// 2. loop all statesfor (int i = 1; i <= n; i++) {// 3. copy decisionsf[i][1] = max(f[i][1], f[i - 1][0] - prices[i]);f[i][0] = max(f[i][0], f[i - 1][1] + prices[i]);for (int j = 0; j < 2; j++) {f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);}}// 4. return targetreturn f[n][0];
}

LeetCode 练习题

322. 零钱兑换
62. 不同路径
63. 不同路径 II
1143. 最长公共子序列
300. 最长递增子序列
53. 最大子数组和
152. 乘积最大子数组
70. 爬楼梯
120. 三角形最小路径和
673. 最长递增子序列的个数
121. 买卖股票的最佳时机
122. 买卖股票的最佳时机 II
123. 买卖股票的最佳时机 III
188. 买卖股票的最佳时机 IV
714. 买卖股票的最佳时机含手续费
309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期
198. 打家劫舍
213. 打家劫舍 II
72. 编辑距离

背包问题

0/1 背包

给定 N 个物品，其中第 $i$ 个物品的体积为 $V_i$ ，价值为 $W_i$ 。
有一容积为 $M$ 的背包，要求选择一些物品放入背包，使得物品总体积不超过 $M$ 的前提下，物品的价值总和最大。
$\ i \ 个物品中选出了总体积为 \ j \ 的物品放入背包，物品的最大价值和$
- $max\left\{ \begin{aligned} F[i-1,j] \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \ \ \ \ \ 不选第 \ i \ 个物品 \\ F[i-1,j-V_i] +W_i \quad\quad if\quad j\geq V_i \quad\quad选第 \ i \ 个物品 \end{aligned} \right.$
- 初值： $F [0, 0] = 0$ ，其余为负无穷
- 目标： $\max_{0 \leq j \leq M} \left\{ F[N][j] \right\}$
```
vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(m + 1, -1e9));
f[0][0] = 0;for (int i = 1;i <= n;i++) {for (int j = 0;j <= m;j++) {f[i][j] = f[i - 1][j];}for(int j = v[i];j <= m;j++) {f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);}
}int ans = 0;
for (int j = 0;j <= m;j++) ans = max(ans, f[n][j]);
```
```
vector<int> f(m + 1, -1e9);
f[0] = 0;for (int i = 1;i <= n;i++)for (int j = m;j >= v[i];j--) // 必须倒序f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);int ans = 0;
for (int j = 0;j <= m;j++) ans = max(ans, f[j]);
```

LeetCode 练习题

416. 分割等和子集
494. 目标和

完全背包

给定 N 种物品，其中第 $i$ 种物品的体积为 $V_i$ ，价值为 $W_i$ ，并且有无数个。
有一容积为 $M$ 的背包，要求选择一些物品放入背包，使得物品总体积不超过 $M$ 的前提下，物品的价值总和最大。
$\ i \ 种物品中选出了总体积为 \ j \ 的物品放入背包，物品的最大价值和$
- $max\left\{ \begin{aligned} F[i-1,j] \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \ \ 尚未选过第 \ i \ 种物品 \\ F[i,j-V_i] +W_i \quad\quad if\quad j\geq V_i \quad\quad\quad\quad从第 \ i \ 种物品中选一个 \end{aligned} \right.$
- 初值： $F [0, 0] = 0$ ，其余为负无穷
- 目标： $\max_{0 \leq j \leq M} \left\{ F[N][j] \right\}$
```
vector<int> f(m + 1, -1e9);
f[0] = 0;for (int i = 1;i <= n;i++)for (int j = v[i];j <= m;j++) // 正序f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);int ans = 0;
for (int j = 0;j <= m;j++) ans = max(ans, f[j]);
```