斐波那契数列
斐波那契数列（Fibonacci sequence）是一个非常著名的数学序列，它是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在1202年的著作《计算之书》（Liber Abaci）中首次引入的。这个数列的定义如下：
- 数列的前两个数是 0 和 1。
- 从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
用数学公式表示，斐波那契数列可以写成：
F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) 对于 n > 1 的所有自然数 n。
斐波那契数列的前几个数是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
这个数列在数学、科学、艺术和自然界中都有广泛的应用。例如，在生物学中，许多植物的生长模式（如菠萝的鳞片排列、向日葵的种子排列）遵循斐波那契数列。在艺术和设计中，黄金分割比例（Golden Ratio），也称为黄金比例（Golden Proportion），大约是1.618，这个比例与斐波那契数列紧密相关。
斐波那契数列的第n项可以通过递归、迭代或使用闭式公式（Binet’s Formula）来计算。闭式公式如下：
F(n) = (φ^n - (-φ)^-n) / sqrt(5)
其中，φ (phi) 是黄金比例，约等于1.618033988749895…，是(1 + sqrt(5)) / 2 的结果。这个公式可以直接计算出数列的任意一项，而不需要计算前面的所有项。
Java语言书写
在Java语言中，实现斐波那契数列可以通过多种方法，包括递归、迭代和使用矩阵快速幂。以下是这三种方法的详细实现：
- 递归方法：
递归方法是最直接的实现方式，但它的效率不高，因为会有很多重复的计算。
public class Fibonacci {public static int fibonacciRecursive(int n) {if (n <= 1) {return n;} else {return fibonacciRecursive(n - 1) + fibonacciRecursive(n - 2);}}public static void main(String[] args) {int n = 10; // 计算前10项for (int i = 0; i < n; i++) {System.out.print(fibonacciRecursive(i) + " ");}}
}
- 迭代方法：
迭代方法效率更高，因为它避免了重复计算。
public class Fibonacci {public static int fibonacciIterative(int n) {if (n <= 1) {return n;}int fib = 1;int prevFib = 1;for (int i = 2; i < n; i++) {int temp = fib;fib += prevFib;prevFib = temp;}return fib;}public static void main(String[] args) {int n = 10; // 计算前10项for (int i = 0; i < n; i++) {System.out.print(fibonacciIterative(i) + " ");}}
}
- 矩阵快速幂方法（Binet’s Formula）：
这种方法利用了斐波那契数列的闭式公式，通过矩阵乘法快速计算。
public class Fibonacci {public static int fibonacciMatrix(int n) {if (n == 0) {return 0;}int m = (int) Math.pow(5, 0.5);int[][] result = {{1, 1}, {1, 0}};int[][] base = {{1, 1}, {1, 0}};while (n > 0) {if (n % 2 == 1) {multiply(result, base, result);}multiply(base, base, base);n /= 2;}return result[0][0];}private static void multiply(int[][] a, int[][] b, int[][] result) {for (int i = 0; i < 2; i++) {for (int j = 0; j < 2; j++) {result[i][j] = 0;for (int k = 0; k < 2; k++) {result[i][j] += (long)a[i][k] * b[k][j] % m;}}}}public static void main(String[] args) {int n = 10; // 计算第10项System.out.println(fibonacciMatrix(n));}
}
在这个例子中，我们使用了黄金比例的平方根（m）来取模，以避免在计算过程中出现大数。这种方法的时间复杂度是O(log n)，因为它基于二分法。
请注意，由于Java的整数类型（int）在处理大数时可能会溢出，所以在实际应用中，你可能需要使用long类型或者Java的BigInteger类来处理更大的斐波那契数。
需求场景：一个在线购物网站
一个在线购物网站想要在商品详情页面展示一个“推荐商品”区域，该区域会根据用户浏览的商品推荐相似的商品。为了实现这个功能，网站决定使用斐波那契数列来决定推荐商品的顺序，即推荐商品的顺序基于斐波那契数列的索引。例如，如果用户正在查看索引为5的商品（从0开始计数），那么推荐系统会推荐索引为3（F(3)=2）、2（F(2)=1）、1（F(1)=1）的商品。
解决步骤：
- 创建一个Java方法来生成斐波那契数列的前N项。
- 在商品详情页面的后端逻辑中，使用这个方法来获取推荐商品的索引。
- 根据这些索引从数据库中检索推荐商品并展示在页面上。
以下是实现这个需求的Java代码示例：
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class FibonacciRecommendation {// 生成斐波那契数列的前N项public static List<Integer> generateFibonacci(int N) {List<Integer> fibonacciSeries = new ArrayList<>();int a = 0, b = 1, c = 0;// 初始化前两项fibonacciSeries.add(a);if (N > 1) {fibonacciSeries.add(b);}// 计算剩余的项for (int i = 2; i < N; i++) {c = a + b;fibonacciSeries.add(c);a = b;b = c;}return fibonacciSeries;}// 获取推荐商品的索引public static List<Integer> getRecommendedIndices(int currentProductIndex, int N) {List<Integer> recommendedIndices = new ArrayList<>();// 获取斐波那契数列List<Integer> fibonacciSeries = generateFibonacci(N);// 计算推荐商品的索引for (int index : fibonacciSeries) {if (index <= currentProductIndex) {recommendedIndices.add(currentProductIndex - index);}}return recommendedIndices;}// 主方法，用于测试public static void main(String[] args) {// 假设用户正在查看索引为5的商品int currentProductIndex = 5;int N = 10; // 推荐商品的数量// 获取推荐商品的索引List<Integer> indices = getRecommendedIndices(currentProductIndex, N);// 输出推荐商品的索引System.out.println("推荐商品的索引：" + indices);}
}
在这个例子中，generateFibonacci方法用于生成斐波那契数列的前N项。getRecommendedIndices方法接受当前商品的索引和推荐商品的数量N，然后返回一个推荐商品的索引列表。在main方法中，我们测试了这个逻辑，假设用户正在查看索引为5的商品，并获取了推荐商品的索引。
请注意，这个例子是一个简化的版本，实际应用中可能需要考虑商品数据库的查询逻辑、用户偏好、商品的相似度等因素。此外，为了避免索引越界，实际应用中可能需要对推荐逻辑进行更复杂的处理。
需求：兔子问题(斐波那契数列)。
有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问第二十个月的兔子对数为多少？由此可见兔子对象的数据是：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 …
首先我们对其数据进行分析，可知从第三天开始，每天的兔子数量等于前两天之和，其次我们要知道递归的思想：
递归：在方法中调用方法本身的现象。注意事项：1.递归要有出口 2.递归次数不宜过多 3.递归所体现的思想，就是拆分合并的思想
public static void main(String[] args) {//定义一个方法去实现逻辑，传入月数并接收其返回值int sum = sumRabbit(20);//打印结果System.out.println("兔子的对数为：" + sum);}private static int sumRabbit(int i) {//判断传来的月数是不是第1个月或者两个月，如果是则返回1if (i == 1 || i == 2) {return 1;} else {//如果传来的月数不是1或者2，那么返回前两个月兔子数量的和；这里采用了递归的思想return sumRabbit(i - 1) + sumRabbit(i - 2);}}public class Demo5_2 {public static void main(String[] args) {System.out.println(fibonacci(5));}/*** 计算斐波那契数列 黄金分割线* @param month* @return*/public static int fibonacci(int month){
// 第一 1
// 第二 1
// 第三 2 第一月+ 第二月
// 第四月 3 第二月+ 第三月
// 第五月 5
// 第n月 ？ 第n-1 + 第n-2
// 创建数组int[] arr = new int[month];arr[0] = 1;arr[1] = 1;for (int i = 2; i < arr.length; i++) {arr[i] = arr[i-1]+ arr[i-2];}System.out.println(Arrays.toString(arr));int sum = 0;for (int i = 0; i < arr.length; i++) {sum += arr[i];}return sum;}
}
