微分中值定理

极值

定义4.1 极大(小)值

若存在$x_0$的邻域$U\left(x_0,\delta \right)$,使得$\forall x\in U\left(x_0\right),\delta$,$f\left(x\right)\le f\left(x_0\right)$,则称$x_0$是函数$f\left(x\right)$的一个极大值点。
若存在$x_0$的邻域$U\left(x_0,\delta \right)$,使得$\forall x\in U\left(x_0\right),\delta$,$f\left(x\right)\ge f\left(x_0\right)$,则称$x_0$是函数$f\left(x\right)$的一个极小值点。

定理4.1 Fermat引理

设$x_0$是函数$f\left(x\right)$的一个极值点,且函数$f\left(x\right)$在点$x_0$处可导,则$f^{\prime }\left(x_0\right)=0$。

不妨设$x_0$是函数$f\left(x\right)$的一个极大值点。
令$\Delta x\in \left(0,\delta \right)$,则$\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\le 0$,
根据函数极限的保不等号性,$f_{+}^{\prime }\left(x_0\right)={\lim }_{x_0^{+}\to 0}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\le 0$;
同理令$\Delta x\in \left(-\delta ,0\right)$,则$f_{-}^{\prime }\left(x_0\right)={\lim }_{x_0^{-}\to 0}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\ge 0$,
因为函数$f\left(x\right)$在点$x_0$处可导,所以函数$f\left(x\right)$在点$x_0$处$f_{+}^{\prime }\left(x_0\right)=f_{-}^{\prime }\left(x_0\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)=0$。

定理4.2 Rolle定理

函数$f\left(x\right)$在闭区间$\left[a,b\right]$上连续,在开区间$\left(a,b\right)$上可导,$f\left(a\right)=f\left(b\right)$,则$\exists \xi \in \left(a,b\right)$:$f^{\prime }\left(\xi \right)=0$。

根据最值定理,$f\left(x\right)$在$\left[a,b\right]$上必有最大值$M$和最小值$m$,也就是$\exists \eta$,$\xi \in \left[a,b\right]$:$\forall x\in \left[a,b\right]$,$f\left(\eta \right)=m=\min f\left(x\right)$,$f\left(\xi \right)=M=\max f\left(x\right)$。
不妨设函数$f\left(x\right)$在闭区间$\left[a,b\right]$上有最大值$M=f\left(\xi \right)$。
<1>$M=f\left(a\right)(=f\left(b\right))$
此时函数$f\left(x\right)$为常数函数,显然$\exists \xi \in \left(a,b\right)$:$f^{\prime }\left(\xi \right)=0$。
<2>$M\ne f\left(a\right)(=f\left(b\right))$
此时$M=f\left(\xi \right)$为$f\left(x\right)$在$\left[a,b\right]$上的一个极大值,$\xi$是函数$f\left(x\right)$的一个极大值点,
根据Fermat引理,$f^{\prime }\left(\xi \right)=0$。

Lagrange中值定理

定理4.3 Lagrange中值定理

函数$y=f\left(x\right)$在闭区间$\left[a,b\right]$上连续,在开区间$\left(a,b\right)$上可导,则$\exists \xi \in \left(a,b\right)$:$f^{\prime }\left(\xi \right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$。

任取$t\in \left(a,b\right)$,$x=t$处切线斜率为$f^{\prime }\left(t\right)$。
另外连接闭区间$\left[a,b\right]$端点的割线斜率为$k=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$,割线方程为$y-f\left(a\right)=\left(\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\right)\left(x-a\right)$,
而点$\left(t,f\left(t\right)\right)$到割线$y=\left(\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\right)\left(x-a\right)$的距离函数为$d\left(t\right)=\frac{|k\left(t-a\right)+f\left(a\right)-f\left(t\right)|}{\sqrt{1+k^2}}$,$d^{\prime }\left(t\right)=\frac{|k-f^{\prime }\left(t\right)|}{\sqrt{1+k^2}}$,
因为$d\left(t\right)$在闭区间$\left[a,b\right]$上连续,在开区间$\left(a,b\right)$上可导,且$d\left(a\right)=d\left(b\right)=0$,所以根据Rolle定理,$\exists \xi \in \left(a,b\right)$:$d^{\prime }\left(\xi \right)=0$,
解方程$d^{\prime }\left(\xi \right)=\frac{|k-f^{\prime }\left(\xi \right)|}{\sqrt{1+k^2}}=0$,可得$f^{\prime }\left(\xi \right)=k=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$。
从几何意义出发,同样根据距离函数$d\left(t\right)$的分子部分,可以构造函数$\phi \left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(a\right)-\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)=f\left(x\right)-f\left(a\right)-k\left(x-a\right)$,$\phi \left(x\right)$仍然满足Rolle定理,$\exists \xi \in \left(a,b\right)$:${\phi }^{\prime }\left(\xi \right)=0$,代数方法与几何方法实质上殊途同归。

定理4.4 Cauchy中值定理

函数$y=f\left(x\right)$在闭区间$\left[a,b\right]$上连续,在开区间$\left(a,b\right)$上可导,则$\exists \xi \in \left(a,b\right)$:$\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{g^{\prime }\left(\xi \right)}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}\left(g^{\prime }\left(\xi \right)\ne 0\right)$。

联立参数方程:
$$\{\begin{array}{c}y=f\left(t\right)\\ x=g\left(t\right)\end{array}$$
参考Lagrange中值定理,可构造函数$\phi \left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(a\right)-\left(\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}\right)\left(g\left(x\right)-g\left(a\right)\right)$,后续过程与Lagrange中值定理一致。

导数对函数性质的刻画

Jensen不等式