线性dp+中位数,POJ3666 Making the Grade

目录

一、题目

1、题目描述

2、输入输出

2.1输入

2.2输出

3、原题链接

二、解题报告

1、思路分析

2、复杂度

3、代码详解


一、题目

1、题目描述

2、输入输出

2.1输入

2.2输出

3、原题链接

3666 -- Making the Grade (poj.org)


二、解题报告

1、思路分析

先不考虑题目的问题,先明确一点,给定一个整数序列a,求一整数x使得Σ|a[i] - x|最小,那么x为序列a中的中位数,证明很简单,类似于剥洋葱:

对于本题而言,要求得到非严格递增/递减的序列b,使得Σ|ai - bi|最小

假设前k个数字已经得到b1~bk,那么对于ak+1,如果ak+1 >= ak,那么我们直接取bk+1 = ak+1

否则,令bj ~ bk+1取aj ~ ak+1的中位数,我们先不关心j如何取,我们得出一个结论:b序列都是a序列中的数

我们先将a升序/降序排列,因为题目要求所以我们要升序降序各dp一次

定义状态f[i][j]为bi = aj时的前i个差的绝对值之和的最小值

那么f[i][j] = min(f[i - 1][j]) + abs(a[i] - b[j])

2、复杂度

时间复杂度: O(nlogn)空间复杂度:O(n^2)

3、代码详解

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <climits>
using namespace std;
const int N = 2005;
int n, a[N], b[N];
long long f[N][N], ans = LLONG_MAX;
void solve()
{for (int i = 1; i <= n; i++)f[1][i] = abs(a[1] - b[i]);for (int i = 1; i <= n; i++){long long mi = LLONG_MAX;for (int j = 1; j <= n; j++)f[i][j] = (mi = min(mi, f[i - 1][j])) + abs(a[i] - b[j]);}for (int i = 1; i <= n; i++)ans = min(ans, f[n][i]);
}
int main()
{//freopen("in.txt", "r", stdin);ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i], b[i] = a[i];sort(b + 1, b + n + 1);solve();reverse(b + 1, b + n + 1);solve();cout << ans;return 0;
}

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