动态规划第一期背包问题

前言

动态规划难度较高，但是也十分重要，希望大家能够好好的理解！！！

一、背包问题

思维导图：

背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V？它是在1978年由Merkle和Hellman提出的。
背包问题已经研究了一个多世纪，早期的作品可追溯到1897年 [1]数学家托比亚斯·丹齐格（Tobias Dantzig，1884-1956）的早期作品 [2]，并指的是包装你最有价值或有用的物品而不会超载你的行李的常见问题。

举例：

题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
f[i][v]=max{ f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]]+v[i] }。
可以压缩空间，f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+v[i]}
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-w[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-w[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值v[i]。
注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为f[v]。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[v-1]，这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。
空间复杂
以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V），其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O（V）。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f [0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？
f[i][v]是由f[i-1][v]和f [i-1][v-w[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[v]和f[v -w[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-w[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+v[i]};
其中的f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]}，因为的
f[v-w[i]]就相当于原来的f[i-1][v-w[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-w[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的

二、例题

1.01背包

AC代码：

//二维
#include<iostream>
#include<algorithm>using namespace std;const int N = 1010;
int v[N] , w[N];
int f[N][N];
int n , m;int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i ++){for(int j = 0; j <= m; j ++){f[i][j] = f[i - 1][j];if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i -1][j - v[i]] + w[i]);}}cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N], dp[N];
int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++){cin >> v[i] >> w[i];}for(int i = 1; i <= n; i ++)for(int j = m; j >= v[i]; j --)dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);cout << dp[m] << endl;return 0;
}

2.完全背包

AC代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>using namespace std;const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
int v[N], w[N], dp[N];
int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i ++){for(int j = v[i]; j <= m; j ++){dp[j] = max(dp[j],dp[j - v[i]] + w[i]);}}cout << dp[m] << endl;
}

3.多重背包

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int f[N], n, m;int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {int w, v, c;scanf("%d%d%d", &w, &v, &c);for (int j = m; j >= w; j -- )for (int k = 0; k <= c && k * w <= j; k ++ )f[j] = max(f[j], f[j - k * w] + k * v);}printf("%d\n", f[m]);return 0;
}

4.分组背包

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>using namespace std;const int N = 110;
int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int dp[N];
int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++){cin >> s[i];for(int j = 0; j < s[i]; j ++){cin >> v[i][j] >> w[i][j];}}for(int i = 1; i <= n; i ++){for(int j = m; j >= 0; j --){for(int k = 0; k < s[i]; k ++){if(v[i][k] <= j)dp[j] = max(dp[j],dp[j - v[i][k]] + w[i][k]);}}}cout << dp[m] << endl;return 0;
}