树状数组理论与实践

1 理论

树状数组(Fenwick Tree)，也称为二叉索引树（Binary Indexed Tree, BIT），是一种用于高效计算数组前缀和的数据结构。它可以在 $O (l o g N)$ 的时间复杂度下完成单点更新、前缀和查询等操作。

树状数组的主要思想是利用二进制的特性来进行有效的更新和查询。它的核心思想是利用数组的索引来表示树状结构，从而实现高效的查询和更新操作。

具体来说，树状数组的结构如下：

数组C：这是一个额外的数组，用于存储原始数组的前缀和或其它需要维护的信息。
每个元素的索引i代表了原始数组中的某个位置。
每个元素的值C[i]存储了原始数组中某个位置到其父节点（通过某种规则计算）的信息。通常，C[i]的计算规则是将i的二进制表示中最低位的1所代表的区间累加到i上。

lowbit(x)表示数x二进制表示中最后一位1的大小，用十进制表示。

int lowbit(int x) {return x & -x;
}

例如输入6，返回2；输入7返回1；输入8返回8；输入9返回1。

对于数x，加上lowbit(x)的写法，

//写法1
x += lowbit(x);
//写法2
x += x & -x;

对于数x，减去lowbit(x)的写法，

//写法1
x -= lowbit(x);
//写法2
x -= x & -x;
//写法3
x &= x - 1;

模板题：307区域和检索-数组可修改

C++模板如下，

class Fenwick {vector<int> nums; //下标从1开始，nums[0]无意义vector<int> tree; //tree[i]表示第i个关键区间的元素和。也即数组nums中下标在[i-lowbit(i)+1, i]区间内的元素之和，它的元素个数为lowbit(i)。
public:inline int lowbit(int x) {return x & -x;}Fenwick(vector<int> nums) { this->nums = nums;int n = nums.size();for (int i = 1; i < n; ++i) {add(i, nums[i]); //下标从1开始}return;}//把nums数组中下标i的元素增加了x，更新对应的关键区间元素和tree[k]void add(int i, int x) {for (int k = i + 1; k < tree.size(); k += lowbit(k)) {tree[k] += x;}}//返回nums下标在[1,i]的元素之和，注意是闭区间int get_sum(int i) {int res = 0;for (int k = i; k > 0; k -= lowbit(k)) {res += tree[k];}return res;}//返回下标在[l,r]的元素之和，注意是闭区间int get_sum(int l, int r) {return get_sum(r) - get_sum(l - 1);}};

2 实践

题目1：3072. 将元素分配到两个数组中 II

C++代码如下，

class Fenwick {vector<int> tree;
public:Fenwick(int n) : tree(n) {} //下标从1开始//把下标为i的元素增加1void add(int i) {while (i < tree.size()) {tree[i]++;i += i & -i;}}//返回下标在[1,i]的元素之和,注意是闭区间int pre(int i) {int res = 0;while (i > 0) {res += tree[i];i &= i - 1;}return res;}
};class Solution {
public:vector<int> resultArray(vector<int>& nums) {auto sorted = nums;ranges::sort(sorted);sorted.erase(unique(sorted.begin(), sorted.end()), sorted.end());int m = sorted.size();vector<int> a{nums[0]}, b{nums[1]};Fenwick t1(m + 1), t2(m + 1); //t1,t2是树状数组t1.add(ranges::lower_bound(sorted, nums[0]) - sorted.begin() + 1); //+1是因为下标从1开始t2.add(ranges::lower_bound(sorted, nums[1]) - sorted.begin() + 1); //+1是因为下标从1开始for (int i = 2; i < nums.size(); ++i) {int x = nums[i];int v = ranges::lower_bound(sorted, x) - sorted.begin() + 1;int gc1 = a.size() - t1.pre(v);int gc2 = b.size() - t2.pre(v);if (gc1 > gc2 || gc1 == gc2 && a.size() <= b.size()) {a.push_back(x);t1.add(v);} else {b.push_back(x);t2.add(v);}}a.insert(a.end(), b.begin(), b.end());return a;}
};