模拟框图的表示

微分方程的建立

目的：为建立LTI系统的数学模型，需要列写微分方程式。

以RLC电路为例：

以Us为输入，Uc为输入，则可以得出以下微分方程式：

$LC\frac{\partial^2Uc }{\partial t^2}+RC\frac{\partial Uc}{\partial x}+Uc=Us$

抽去物理意义后，得到一般的常微分线性方程：

$a_{2}\frac{\partial^2 y(t)}{\partial t^2}+a_{1}\frac{\partial y(t)}{\partial t}+a_{0}y(t)=f(t)$

相似系统

指性质不同的两个物理系统，它们的数学模型却能一一对应(或者说由这两个系统得出的微分方程形式完全相同)，则称这两个系统互为相似系统。

用微分方程不仅可以建立描述电路、机械等工程系统的数学模型，而且还可以用于构建生物系统、经济系统、社会系统等各种科学领域。

模拟框图表示

模拟框图：指将抽象的微分方程用基本部件的相互连接所表达出的直观的图。简称：框图。

基本公式： $a_{2}\frac{\partial^2 y(t)}{\partial t^2}+a_{1}\frac{\partial y(t)}{\partial t}+a_{0}y(t)=f(t)$

或者写为： $a_{2}y^{''}(t)+a_{1}y^{'}(t)+a_{0}y(t)=f(t)$

基本运算：数乘、微分、积分、相加

基本部件：加法器、数乘器、积分器(通常不用微分器，抗干扰性差、不稳定)

微分方程转化为框图

中间变量法

设激励f(t)产生x(t)，x(t)产生响应y(t)。

设f（t）=关于x（t）的一个函数式，其函数式与原式中y（t）函数式相同；y（t）=关于x（t）的另一个函数式，其函数式与原式中f（t）函数式相同。

证明：

将原微分方程记作 $g_{1}\left \{ y(t) \right \}=g_{2}\left \{ f(t) \right \}$ 的形式

令f(t)线性变换为 $g_{1}\left [ f(t) \right ]$ ，由LTI系统的线性规则可得： $g_{2}\left \{ g_{1}\left [ f(t) \right ] \right \}=g_{1}\left \{g _{1}\left [ y(t) \right ] \right \}$

又 $g_{1}\left \{ y(t) \right \}=g_{2}\left \{ f(t) \right \}$ ，可得： $g_{1}\left \{ g_{2} \left [ f(t) \right ]\right \}=g_{2}\left \{g _{1} \left [ y(t) \right ]\right \}$