【CSP考点回顾】前缀和数组

一、一维数组前缀和

前缀和算法是一种用于处理数组的技术，它可以快速计算任何连续子数组的和。适合在多次查询中需要求解多个范围和的情况。使用前缀和算法可以将每次求和的时间复杂度从 O(n) 降低到 O(1)。

前缀和的思想是创建一个新数组 $A rr$ ， $p re A rr [i]$ 记录 $A rr [0... i - 1]$ 的累加和，如图：

请添加图片描述

那么，求索引区间 $[1, 4]$ 内所有元素之和，可以通过 $p re A rr [5] - p re A rr [1]$ 得出。这样，便只需要做一次减法运算，避免了每次进行 for 循环调用，时间复杂度为常数 $O (1)$ 。
前缀和算法广泛用于处理数组求和问题，特别是当需要多次求解不同子数组的和时，它可以大大减少计算时间。
例如，班上有若干同学，每个同学有一个期末考试的成绩(满分100分)，那么请实现输入任意一个分数段，返回有多少同学的成绩在这个分数段内。

vector<int>scores; // 存储所有分数
vector<int>cnt(100 + 1, 0); //满分为100
for (auto& it : scores) // 记录每个分数有多少同学
{cnt[it]++;
}
for (int i = 1; i < scores.size(); i++) // 构造前缀和
{cnt[i] += cnt[i - 1];
}
// 利用前缀和数组进行差分查询

二、二维数组的前缀和

二维数组的前缀和是前缀和概念在二维空间的扩展。这个技巧通常用于处理二维数组上的区域和查询，特别适合于频繁查询数组特定子矩阵（子区域）内元素的总和的情况。

1.二维前缀和数组构建步骤：

初始化 $p re A rr 2$ 的所有元素为 0。
遍历原始二维数组 $A rr 2$ ，更新 $p re A rr 2$ 中的值。对于 $p re A rr 2$ 中的每个元素（位于 $(i, j)$ ），其值由以下元素决定：
- 原数组 $A rr 2$ 在 $(i - 1, j - 1)$ 的值（因为 $p re A rr 2$ 比 $A rr 2$ 多了一行和一列）。
- $p re A rr 2$ 中上方 $(i - 1, j)$ 的前缀和。
- $p re A rr 2$ 中左侧 $(i, j - 1)$ 的前缀和。
- $p re A rr 2$ 中左上角 $(i - 1, j - 1)$ 的前缀和，因为它被加了两次（在上方和左侧的和中），所以需要减去。
$p re A rr 2 [i] [j]$ 的计算公式为：
$p re A rr 2 [i] [j] = A rr 2 [i - 1] [j - 1] + p re A rr 2 [i - 1] [j] + p re A rr 2 [i] [j - 1] - p re A rr 2 [i - 1] [j - 1]$

【注意】对于 $p re A rr 2$ 的第一行和第一列，我们将它们保持为 0，这样可以简化边界条件的处理。

2.使用二维前缀和数组数组：

我们可以快速计算出原数组中任意子矩阵 $(x 1, y 1)$ 到 $(x 2, y 2)$ 的和，通过以下公式：
$s u m = p re A rr 2 [x 2 + 1] [y 2 + 1] - p re A rr 2 [x 1] [y 2 + 1] - p re A rr 2 [x 2 + 1] [y 1] + p re A rr 2 [x 1] [y 1]$
这里 $(x 1, y 1)$ 是子矩阵左上角的坐标， $(x 2, y 2)$ 是子矩阵右下角的坐标。注意，因为 $p re A rr 2$ 的定义，我们需要使用加一的索引来引用原始 $A rr 2$ 中的相应区域。

3.举例

原始二维数组 Arr2:

1	2	3
4	5	6
7	8	9

二维前缀和数组 preArr2:

0	0	0
1	3	6
5	12	21
12	27	45

代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;int main() {// 定义初始二维数组 Arr2vector<vector<int>> Arr2 = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};// 获取数组的行数和列数int m = Arr2.size();int n = Arr2[0].size();// 构建二维前缀和数组 preArr2vector<vector<int>> preArr2(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));for (int i = 1; i <= m; ++i) {for (int j = 1; j <= n; ++j) {preArr2[i][j] = Arr2[i - 1][j - 1] + preArr2[i - 1][j] + preArr2[i][j - 1] - preArr2[i - 1][j - 1];}}// 输出构建完成的二维前缀和数组for (int i = 0; i <= m; ++i) {for (int j = 0; j <= n; ++j) {cout << preArr2[i][j] << " ";}cout << "\n";}return 0;
}