1. 什么是斐波那契数列：

• 之前的例子是每个递归函数只包含一个自身的调用，这称之为 single recursion

• 如果每个递归函数例包含多个自身调用，称之为 multi recursion

递推关系

下面的表格列出了数列的前几项

F0	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	F9	F10	F11	F12	F13
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233

多路递归斐波那契代码实现1：

package com.nami.algorithm.study.day07;/*** beyond u self and trust u self.** @Author: lbc* @Date: 2023-09-06 9:29* @email: 594599620@qq.com* @Description: keep coding*/
public class Fibonacci {/*** 出现问题的，计算 n= 88 根本算不出来。多路递归一直在循环里面了。出不来 --！* @param n* @return*/public static int calculate(int n) {if (n == 0) {return 0;}if (n == 1) {return 1;}int f1 = calculate(n - 1);int f2 = calculate(n - 2);return f1 + f2;}public static void main(String[] args) {// 时间复杂度： 2*f(n+1) -1// E(1.618N次方)System.out.println(calculate(88));}}

  非递归实现2 --- LeetCode 70. 爬楼梯 计算爬楼梯共计多少种方法可达_不努力就种地~的博客-CSDN博客

  之前写的爬楼梯解决方案：

public static  int climbStairs(int n) {int[] dp = new int[n + 1];dp[0] = 1;dp[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}return dp[n];}

这种方法直接用数组去存储前面计算的值，不用重复计算。没有出现上面n=88出现的计算缓慢问题

递归优化方案：

                       使用数组，存储之前计算的数据，减少计算次数。妙哉

package com.nami.algorithm.study.day07;import java.util.Arrays;/*** beyond u self and trust u self.** @Author: lbc* @Date: 2023-09-06 9:29* @email: 594599620@qq.com* @Description: keep coding*/
public class FastFibonacci {/*** 出现问题的，计算 n= 100000* 出现异常 StackOverflowError* 方法层级太深，会导致栈溢出** @param n* @return*/public static int calculate(int n) {// 初始化缓存// ==>记忆法// 空间换时间int[] cache = new int[n + 1];// 填充-1 标识未该值为计算Arrays.fill(cache, -1);cache[0] = 0;cache[1] = 1;return fibonacci(n, cache);}/*** 时间复杂度： O(n)* 增加额外空间成本** @param n* @param cache* @return*/private static int fibonacci(int n, int[] cache) {if (cache[n] != -1) {return cache[n];}int f1 = fibonacci(n - 1, cache);int f2 = fibonacci(n - 2, cache);cache[n] = f1 + f2;return cache[n];}public static void main(String[] args) {// n=88也有问题，出现-值// -2092787285System.out.println(calculate(88));}}

使用数组进行优化，也有一个问题，数组只有n-1, n-2两个值有用。对于计算之后，存储前面n-3的值没有了意义；
 

优化2 ==>尾递归:

                            尾递归（防止栈溢出） +  只取n-1, n-2的值流转

package com.nami.algorithm.study.day07;/*** 尾递归 斐波那契数列* beyond u self and trust u self.** @Author: lbc* @Date: 2023-09-06 9:29* @email: 594599620@qq.com* @Description: keep coding*/
public class TailRecFibonacci {/*** @param n* @return*/public static int calculate(int n) {return fibonacci(n, 0, 1);}private static int fibonacci(int n, int first, int second) {if (n == 0) {return first;}if (n == 1) {return second;}return fibonacci(n - 1, second, first + second);}public static void main(String[] args) {// n=47，出现-值// -1323752223// 18 3631 1903 + 11 3490 3170//    n= 46     +    n=45// int 最大值 21 4748 3647System.out.println(calculate(46));}}

为什么斐波那契数列会出现负值？

      当n=88时，结果等于负数。排查发现：当n=46是正常的，n=47时，前面两个值的相加已经超过了int最大值int.max_value= 21 4748 3647 所以出现负数

如何根本上解决爆栈问题：

                                   递归转for or while循环解决问题。