一文弄懂回溯算法（例题详解）

什么是回溯算法：

子集问题：

子集问题II(元素可重复但不可复选):

组合问题：

组合问题II(组合总和):

组合问题III(组合总和II):

排列问题：

排列问题II(元素可重复但不可复选):

排列问题III(元素无重复但可复选):

最后总结：

什么是回溯算法：

「回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯」，所以回溯法也经常和二叉树遍历，深度优先搜索混在一起，因为这两种方式都使用了递归。

详细地说：可以将回溯算法过程理解成一颗多叉树的遍历过程，回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。

回溯问题的基本框架：


void backtrack(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {//注意i=0,i=start的区别处理节点;backtrack(路径，选择列表); // 递归  注意(i)和(i++)的区别  回溯，撤销处理结果}
}

多叉树的遍历：

与二叉树的遍历类似，但要遍历所有的子节点：

 public void traverse(TreeNode root){if(root == null){return ;}//前序遍历的位置for(Node child : root.children){traverse(child);}//后序遍历的位置}

如果将前后续遍历的位置放到for循环里面，与上图的区别在于不遍历根节点（通过后面例题加深理解）

那么有了上面的一定了解后，我们看下例题，具体怎么使用框架

子集问题：

问题描述：

给你一个整数数组 nums ，数组中的元素 互不相同 。返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集不能包含重复的子集。你可以按 任意顺序 返回解集。

题目链接：78. 子集 - 力扣（LeetCode）

这是一个典型的回溯问题，首先，我们将它模拟成一颗多叉树（根节点为空）：

解决这个问题的关键在于如何遍历这颗多叉树，并且子集不重复，在遍历的过程中，我们要将每一个节点都收录到集合中，最后返回这个集合。之后我们只需要让子集不重复就好了，这里我们可以通过设定一个变量start来记录当前走过的位置，使其不断+1来进行迭代，保证不重复，具体实现如下：

class Solution {//定义二维数组res用于存储结果List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();//定义路径数组LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>(); public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {backtrack(nums,0);return res;}void backtrack(int[] nums,int start){//添加路径数组到结果数组中res.add(new LinkedList<>(track));//for循环遍历数组nums，这里相当于遍历这颗多叉树for(int i = start;i < nums.length;i++){//做选择，将选择添加到路径数组中track.add(nums[i]);//回溯，继续向后遍历backtrack(nums,i + 1);//撤销选择，将选择从路径中删除track.removeLast();}}
}

子集问题II(元素可重复但不可复选):

题目链接：90. 子集 II - 力扣（LeetCode）

输入输出样例：

这里我们以例一为例：为了区别两个 2 是不同元素，后面我们写作 nums = [1,2,2']。

按照之前的思路画出子集的树形结构，显然，两条值相同的相邻树枝会产生重复：

这里，我们需要进行剪枝，同时，为了方便剪枝，这里我们需要将数组进行排序，将形同的元素靠在一起，如果一个节点有多条值相同的树枝相邻，则只遍历第一条，剩下的都剪掉，不要去遍历：

体现在代码上，需要先进行排序，让相同的元素靠在一起，如果发现 nums[i] == nums[i-1]，则跳过：

class Solution {List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();public List<List<Integer>> subsetsWithDup(int[] nums) {// 先排序，让相同的元素靠在一起Arrays.sort(nums);backtrack(nums, 0);return res;}void backtrack(int[] nums, int start) {// 前序位置，每个节点的值都是一个子集，将他们收集res.add(new LinkedList<>(track));for (int i = start; i < nums.length; i++) {// 剪枝逻辑，值相同的相邻树枝，只遍历第一条if (i > start && nums[i] == nums[i - 1]) {continue;}//选择操作track.addLast(nums[i]);//回溯backtrack(nums, i + 1);//撤销选择track.removeLast();}}
}

组合问题：

题目描述：

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

输入输出：

示例 1：

输入：n = 4, k = 2
输出：
[[2,4],[3,4],[2,3],[1,2],[1,3],[1,4],
]

示例 2：

输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]

题目链接：77. 组合 - 力扣（LeetCode）

还是以 nums = [1,2,3] 为例，刚才让我们求所有子集，就是把所有节点的值都收集起来；现在我们只需要把第 2 层（根节点视为第 0 层）的节点收集起来，就是大小为 2 的所有组合：

class Solution {List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();// 记录回溯算法的递归路径LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();// 主函数public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {backtrack(1, n, k);return res;}void backtrack(int start, int n, int k) {// base caseif (k == track.size()) {// 遍历到了第 k 层，收集当前节点的值res.add(new LinkedList<>(track));return;}// 回溯算法标准框架for (int i = start; i <= n; i++) {// 选择track.addLast(i);// 通过 start 参数控制树枝的遍历，避免产生重复的子集backtrack(i + 1, n, k);// 撤销选择track.removeLast();}}
}

组合问题II(组合总和):

题目描述：

给你一个 无重复元素 的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的所有 不同组合 ，并以列表形式返回。你可以按 任意顺序 返回这些组合。

candidates 中的 同一个 数字可以 无限制重复被选取 。如果至少一个数字的被选数量不同，则两种组合是不同的。

对于给定的输入，保证和为 target 的不同组合数少于 150 个。

题目链接：39. 组合总和 - 力扣（LeetCode）

上述子集问题中，我们通过变量start+1来控制树的生成，也就是剪枝，但是这题可以无限制选用一个数字，那么剪枝也就没有必要了，这里我们保持start不变（树会一直生成），只需改变base case（限制条件）就行了，同时定义一个trackSum来维护路径和：

class Solution {List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();// 记录回溯的路径LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();// 记录 track 中的路径和int trackSum = 0;public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {if (candidates.length == 0) {return res;}backtrack(candidates, 0, target);return res;}// 回溯算法主函数void backtrack(int[] nums, int start, int target) {// base case，找到目标和，记录结果if (trackSum == target) {res.add(new LinkedList<>(track));return;}// base case，超过目标和，停止向下遍历if (trackSum > target) {return;}// 回溯算法标准框架for (int i = start; i < nums.length; i++) {// 选择 nums[i]trackSum += nums[i];track.add(nums[i]);// 递归遍历下一层回溯树// 同一元素可重复使用，注意参数backtrack(nums, i, target);// 撤销选择 nums[i]trackSum -= nums[i];track.removeLast();}}
}

组合问题III(组合总和II):

题目描述：

给定一个候选人编号的集合 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

注意：解集不能包含重复的组合。

与子集II类似，我们只需多一个剪枝操作即可：

class Solution {List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();// 记录回溯的路径LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();// 记录 track 中的元素之和int trackSum = 0;public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {if (candidates.length == 0) {return res;}// 先排序，让相同的元素靠在一起Arrays.sort(candidates);backtrack(candidates, 0, target);return res;}// 回溯算法主函数void backtrack(int[] nums, int start, int target) {// base case，达到目标和，找到符合条件的组合if (trackSum == target) {res.add(new LinkedList<>(track));return;}// base case，超过目标和，直接结束if (trackSum > target) {return;}// 回溯算法标准框架for (int i = start; i < nums.length; i++) {// 剪枝逻辑，值相同的树枝，只遍历第一条if (i > start && nums[i] == nums[i - 1]) {continue;}// 做选择track.add(nums[i]);trackSum += nums[i];// 递归遍历下一层回溯树backtrack(nums, i + 1, target);// 撤销选择track.removeLast();trackSum -= nums[i];}}
}

排列问题：

题目描述：给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。

题目链接：46. 全排列 - 力扣（LeetCode）

刚才讲的组合/子集问题使用 start 变量保证元素 nums[start] 之后只会出现 nums[start+1..] 中的元素，通过固定元素的相对位置保证不出现重复的子集。但排列问题本身就是让你穷举元素的位置，nums[i] 之后也可以出现 nums[i] 左边的元素，所以之前的那一套玩不转了，需要额外使用 used 数组来标记哪些元素还可以被选择，这就相当于剪枝的作用。将全排列问题模拟成一颗多叉树：

class Solution {List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();// 记录回溯算法的递归路径LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();// track 中的元素会被标记为 trueboolean[] used;/* 主函数，输入一组不重复的数字，返回它们的全排列 */public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {used = new boolean[nums.length];backtrack(nums);return res;}// 回溯算法核心函数void backtrack(int[] nums) {// base case，到达叶子节点if (track.size() == nums.length) {// 收集叶子节点上的值res.add(new LinkedList(track));return;}// 回溯算法标准框架for (int i = 0; i < nums.length; i++) {// 已经存在 track 中的元素，不能重复选择if (used[i]) {continue;}// 做选择used[i] = true;track.addLast(nums[i]);// 进入下一层回溯树backtrack(nums);// 取消选择track.removeLast();used[i] = false;}}
}

排列问题II(元素可重复但不可复选):

题目描述：给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序 返回所有不重复的全排列。

题目链接：47. 全排列 II - 力扣（LeetCode）

这里我们需要保证相同元素在排列中的相对位置保持不变，什么意思呢，比如说 nums = [1,2,2'] 这个例子，我们保持排列中 2 一直在 2' 前面，又比如 nums = [1,2,2',2'']，我们只要保证重复元素 2 的相对位置固定，比如说 2 -> 2' -> 2''，也可以得到无重复的全排列结果。我们直接上代码：

class Solution {List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();boolean[] used;public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {// 先排序，让相同的元素靠在一起Arrays.sort(nums);used = new boolean[nums.length];backtrack(nums);return res;}void backtrack(int[] nums) {if (track.size() == nums.length) {res.add(new LinkedList(track));return;}for (int i = 0; i < nums.length; i++) {if (used[i]) {continue;}// 新添加的剪枝逻辑，固定相同的元素在排列中的相对位置if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && !used[i - 1]) {continue;}track.add(nums[i]);used[i] = true;backtrack(nums);track.removeLast();used[i] = false;}}
}

与上面的剪枝逻辑有些不同，这里多了个!used[i - 1],以 nums = [2,2',2'']，产生的回溯树为例：

在满足前面两个条件的情况下，我们基本可以断定没有用过的分路也是重复的，我们需要将这些枝减掉

排列问题III(元素无重复但可复选):

比如输入 nums = [1,2,3]，那么这种条件下的全排列共有 3^3 = 27 种：

[[1,1,1],[1,1,2],[1,1,3],[1,2,1],[1,2,2],[1,2,3],[1,3,1],[1,3,2],[1,3,3],[2,1,1],[2,1,2],[2,1,3],[2,2,1],[2,2,2],[2,2,3],[2,3,1],[2,3,2],[2,3,3],[3,1,1],[3,1,2],[3,1,3],[3,2,1],[3,2,2],[3,2,3],[3,3,1],[3,3,2],[3,3,3]
]

标准的全排列算法利用 used 数组进行剪枝，避免重复使用同一个元素。如果允许重复使用元素的话，直接放飞自我，去除所有 used 数组的剪枝逻辑就行了。

代码详解：

class Solution {List<List<Integer>> res = new LinkedList<>();LinkedList<Integer> track = new LinkedList<>();public List<List<Integer>> permuteRepeat(int[] nums) {backtrack(nums);return res;}// 回溯算法核心函数void backtrack(int[] nums) {// base case，到达叶子节点if (track.size() == nums.length) {// 收集叶子节点上的值res.add(new LinkedList(track));return;}// 回溯算法标准框架for (int i = 0; i < nums.length; i++) {// 做选择track.add(nums[i]);// 进入下一层回溯树backtrack(nums);// 取消选择track.removeLast();}}
}

最后总结：

回溯算法本质就是个多叉树的遍历问题，关键就是在前序遍历和后序遍历的位置做一些操作，算法框架如下：


void backtrack(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {//注意i=0,i=start的区别处理节点;backtrack(路径，选择列表); // 递归  注意(i)和(i++)的区别  回溯，撤销处理结果}
}

写 backtrack 函数时，需要维护走过的「路径」和当前可以做的「选择列表」，当触发「结束条件」时，将「路径」记入结果集。最后返回结果集合，得到答案。