前言

由于本篇博客相较而言都是算法中最基础的模板，包括快速排序、归并排序、二分、高精度加减乘除法、离散化。这些基础模板多与其他算法混合考察，这些模板是许多算法的实现基础。

Part 1：排序

快速排序和归并排序都属于分治思想，分治分为三步：

1.分成子问题
2.递归处理子问题
3.子问题合并

一、快速排序

• 核心思想是：是将问题划分为子问题的过程中不断解决。不断根据一个分割点，交换前后数据，使得前一部分小于分割点，后一部分大于分割点，分割点在两部分中间，再根据分割位置将其分为两部分重新进行此操作，直到无法再分

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{//递归的终止情况if(l >= r) return;//第一步：分成子问题int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];while(i < j){do i++; while(q[i] < x);do j--; while(q[j] > x);if(i < j) swap(q[i], q[j]);}//第二步：递归处理子问题quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);//第三步：子问题合并.快排这一步不需要操作，但归并排序的核心在这一步骤
}

二、归并排序

• 核心思想：不断将问题划分为子问题，再从子问题开始操作，累加出问题的答案。将数组不断划分为两部分，在无法划分时，将每个分治最后一次划分的两部分合并排序，重复从小问题向原问题操作，合并为排序答案

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{//递归的终止情况if(l >= r) return;//第一步：分成子问题int mid = l + r >> 1;//第二步：递归处理子问题merge_sort(q, l, mid ), merge_sort(q, mid + 1, r);//第三步：合并子问题int k = 0, i = l, j = mid + 1, tmp[r - l + 1];while(i <= mid && j <= r)if(q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];else tmp[k++] = q[j++];while(i <= mid) tmp[k++] = q[i++];while(j <= r) tmp[k++] = q[j++];for(k = 0, i = l; i <= r; k++, i++) q[i] = tmp[k];
}

Part 2：二分

一般二分应用于无非下面这四种情况:
1：找大于等于数的第一个位置 （满足某个条件的第一个数）- 左边界
2：找小于等于数的最后一个数 （满足某个条件的最后一个数）- 右边界
3.查找最大值 （满足该边界的右边界）- 右边界
4.查找最小值 (满足该边界的左边界) - 左边界

一、二分 - 查找左边界

//查找左边界 SearchLeft 简写SL
int SL(int l, int r)
{while (l < r){int mid = l + r >> 1;if (check(mid)) r = mid; else l = mid + 1; }   return l;
}

二、二分 - 查找右边界

//查找右边界 SearchRight 简写SR 
int SR(int l, int r) 
{while (l < r){                   int mid = l + r + 1 >> 1; //需要+1 防止死循环if (check(mid)) l = mid;else r = mid - 1; }return r; 
}

总结以下记忆方式：有加必有减！！！

int mid = l + r + 1 >> 1; //+1为加
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1; //-1为减

Part 3：高精度

一、高精度加法

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{//为了方便计算，让A中保存较长的数字， B中保存较短的数字if (A.size() < B.size()) return add(B, A);//保存结果的数组vector<int> C;//进位，开始时是0int t = 0;//依次计算每一位for (int i = 0; i < A.size(); i ++ ){t += A[i];//加上 A 的第 i 位上的数字if (i < B.size()) t += B[i];//加上 B 的第 i 位上的数字C.push_back(t % 10); //C 中放入结果t /= 10;//t 更新成进位}//最后如果进位上有数，放进结果数组if (t) C.push_back(t);return C;//返回结果
}int main()
{string a, b;//以字符串形式保存输入的两个整数vector<int> A, B;//保存两个整数的数组cin >> a >> b;//接收输入for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0');//倒序存储第一个数for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i -- ) B.push_back(b[i] - '0');//倒序存储第二个数auto C = add(A, B);//调用加和函数for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) cout << C[i];//倒序输出C中的数字cout << endl;return 0;
}

二、高精度减法

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;bool cmp(vector<int>& A, vector<int> &B)
{if(A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();  //直接ruturn 了就不用elsefor(int i = A.size(); i >= 0; i--)if(A[i] != B[i])return A[i] > B[i];return true;
}vector <int> sub(vector<int>& A, vector<int> &B)
{vector<int> C;int t = 0;for(int i = 0; i < A.size(); i++){t = A[i] - t;if(i < B.size()) t -= B[i];C.push_back((t + 10) % 10 ); // 合而为1if(t < 0)  t = 1;else t = 0;}while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();  //去掉前导0return C;
}int main()
{string a ,b;vector<int> A, B;cin >> a >> b ;for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');for(int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');if (cmp(A,B)) {auto C = sub(A, B);for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);return 0;}else{auto C = sub(B, A);printf("-");for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);return 0;}
}

三、高精度乘法

高精度 X 低精度

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;vector <int> mul(vector <int> & A, int b) 
{vector <int> C;int t = 0;for (int i = 0; i < A.size(); i ++) {t += A[i] * b;       // t + A[i] * b = 7218C.push_back(t % 10); // 只取个位 8t /= 10;             // 721 看作 进位}// 处理最后剩余的 twhile (t) {            C.push_back(t % 10);t /= 10;}while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();return C;
}int main() {string a;int b;cin >> a >> b;vector <int> A;for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i --) A.push_back(a[i] - '0');auto C = mul(A, b);for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i --) {cout << C[i];}return 0;
}

高精度 X 高精度

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;vector<int> mul(vector<int> &A, vector<int> &B) 
{vector<int> C(A.size() + B.size() + 7, 0); // 初始化为 0，C的size可以大一点for (int i = 0; i < A.size(); i++)for (int j = 0; j < B.size(); j++)C[i + j] += A[i] * B[j];int t = 0;for (int i = 0; i < C.size(); i++) // i = C.size() - 1时 t 一定小于 10{t += C[i];C[i] = t % 10;t /= 10;}while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 必须要去前导 0，因为最高位很可能是 0return C;
}int main() 
{string a, b;cin >> a >> b; // a = "1222323", b = "2323423423"vector<int> A, B;for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--)A.push_back(a[i] - '0');for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--)B.push_back(b[i] - '0');auto C = mul(A, B);for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--)cout << C[i];return 0;
}

大数相加A+B和大数相乘A*B通用模板

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>using namespace std;vector<int> add(vector<int> A, vector<int> B) 
{// A: 4 3 2 1// B: 6 5vector<int> C(max(A.size(), B.size()) + 7, 0);  // 数组C开大一点没事，反正可以去前导零的for (int i = 0; i < A.size(); i ++) C[i] += A[i];for (int i = 0; i < B.size(); i ++) C[i] += B[i];// 处理进位for (int i = 0; i + 1 < C.size(); i ++) {C[i + 1] += C[i] / 10;C[i] %= 10;}// 处理前导零while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();reverse(C.begin(), C.end());return C;
}vector<int> mul(vector<int> A, vector<int> B) 
{// A: 4 3 2 1// B: 6 5vector<int> C(A.size() + B.size() + 7, 0);  // 数组C开大一点没事，反正可以去前导零的for (int i = 0; i < A.size(); i ++) {for (int j = 0; j < B.size(); j ++) {C[i + j] += A[i] * B[j];}}// 处理进位for (int i = 0; i + 1 < C.size(); i ++) {C[i + 1] += C[i] / 10;C[i] %= 10;}// 处理前导零 "0000" 去掉前导零while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();reverse(C.begin(), C.end());return C;
}int main() 
{string s1 = "9899", s2 = "100";vector<int> A, B;for (int i = s1.size() - 1; i >= 0; i --) A.push_back(s1[i] - '0');for (int i = s2.size() - 1; i >= 0; i --) B.push_back(s2[i] - '0');vector<int> C = add(A, B);cout << s1 << "+" << s2 << "=";for (int i = 0; i < C.size(); i ++) cout << C[i];cout << endl;C = mul(A, B);cout << s1 << "*" << s2 << "=";for (int i = 0; i < C.size(); i ++) cout << C[i];cout << endl;return 0;
}

四、高精度除法

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>using namespace std;//int r=0;
vector<int> div(vector<int> &A,int B,int &r)//r传入r的地址，便于直接对余数r进行修改
{vector<int> C;//对A从最高位开始处理for(int i=0;i<A.size();i++){r=r*10+A[i];//将上次的余数*10在加上当前位的数字，便是该位需要除的被除数C.push_back(r/B);//所得即为商在这一位的数字r=r%B;}//由于在除法运算中，高位到低位运算，因此C的前导零都在vector的前面而不是尾部，vector只有删除最后一个数字pop_back是常数复杂度，而对于删除第一位没有相应的库函数可以使用，而且删除第一位，其余位也要前移，//因此我们将C翻转，这样0就位于数组尾部，可以使用pop函数删除前导0reverse(C.begin(),C.end());while(C.size()>1&&C.back()==0) C.pop_back();return C;
}int main()
{string a;int B,r=0; //代表余数cin>>a>>B;vector<int> A;for(int i=0;i<a.size();i++) A.push_back(a[i]-'0');//注意这次的A是由高为传输至低位，由于在除法的手算过程中，发现从高位进行处理//for(int i=0;i<A.size();i++) cout<<A[i];//cout<<B;auto C = div(A,B,r);for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) cout<<C[i];//将C从最高位传给最低位cout<<endl<<r;//输出余数cout<<endl;return 0;
}

Part 4：离散化

一、区间和

题目描述：假定有一个无限长的数轴，数轴上每个坐标上的数都是 0。现在，我们首先进行 n 次操作，每次操作将某一位置 x 上的数加 c。接下来，进行 m 次询问，每个询问包含两个整数 l 和 r，你需要求出在区间 [l,r] 之间的所有数的和。

输入：第一行包含两个整数 n 和 m。接下来 n 行，每行包含两个整数 x 和 c。再接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r。
输出：共 m 行，每行输出一个询问中所求的区间内数字和。

• 离散化的本质，是映射，将间隔很大的点，映射到相邻的数组元素中。减少对空间的需求，也减少计算量
• 该题解决办法就是开辟额外的数组存放原来的数组下标，或者说下标标志，本文是原来上的数轴上的非连续点的横坐标。此处的做法是是对原来的数轴下标进行排序，再去重，根据二分得到该数在开辟的连续数组中的位置

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 300010; //n次插入和m次查询相关数据量的上界int n, m;
int a[N];//存储坐标插入的值
int s[N];//存储数组a的前缀和
vector<int> alls;  //存储（所有与插入和查询有关的）坐标
vector<pair<int, int>> add, query; //存储插入和询问操作的数据//返回的是输入的坐标的离散化下标
int find(int x) 
{ int l = 0, r = alls.size() - 1;while (l < r) {int mid = l + r >> 1;if (alls[mid] >= x) r = mid;else l = mid + 1;}return r + 1;
}int main() 
{scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i++) {int x, c;scanf("%d%d", &x, &c);add.push_back({x, c});alls.push_back(x);}for (int i = 1; i <= m; i++) {int l , r;scanf("%d%d", &l, &r);query.push_back({l, r});alls.push_back(l);alls.push_back(r);}//排序，去重sort(alls.begin(), alls.end());alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());//执行前n次插入操作for (auto item : add) {int x = find(item.first);a[x] += item.second;}//前缀和for (int i = 1; i <= alls.size(); i++) s[i] = s[i-1] + a[i];//处理后m次询问操作for (auto item : query) {int l = find(item.first);int r = find(item.second);printf("%d\n", s[r] - s[l-1]);}return 0;
}