Leetcode 322. 零钱兑换
题目链接：322 零钱兑换
题干：给你一个整数数组
coins，表示不同面额的硬币；以及一个整数amount，表示总金额。计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回-1。你可以认为每种硬币的数量是无限的。
1 <= coins.length <= 121 <= coins[i] <= 231 - 10 <= amount <= 104
思考：动态规划。题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：从coins中任取硬币，达到总金额为i所需硬币的最小数
- 确定递推公式
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）。并且dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
所以递推公式为dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
- dp数组如何初始化
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
从递推公式可以看出，非0下标的dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。所以下标非0的元素都是应该是最大值INT_MAX。
- 确定遍历顺序
由于本题求钱币最小个数，那么钱币的选取有顺序和没有顺序都可以。
所以本题外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的。下面代码采用硬币放在外循环，总金额在内循环的方式。
本题是完全背包类似问题，所以遍历的内循环是正序。
- 举例推导dp数组
距离：coins = [1, 2, 5], amount = 5，dp状态图如下：
代码：
class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX); //从coins中任取硬币，达到总金额为i所需硬币的最小数dp[0] = 0;for (int i = 0; i < coins.size(); i++) //遍历硬币for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) //遍历总金额if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) //最大值不去处理dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);return dp[amount] == INT_MAX ? -1 : dp[amount];}
};Leetcode 279.完全平方数
题目链接：279 完全平方数
题干：给你一个整数
n，返回 和为n的完全平方数的最少数量 。完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，
1、4、9和16都是完全平方数，而3和11不是。
1 <= n <= 104
思考：动态规划。完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包。
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[j]：达到累计和为i，最少所需完全平方数个数
- 确定递推公式
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。并且要选择最小的dp[j]
所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
- dp数组如何初始化
dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，因此dp[0]一定是0。
从递归公式可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。
- 确定遍历顺序
由于本题求满足条件的完全平方数最少个数，那么完全平方数的选取有顺序和没有顺序都可以。
所以本题外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的。下面代码采用完全平方数放在外循环，累加和在内循环的方式。
本题是完全背包类似问题，所以遍历的内循环是正序。
- 举例推导dp数组
举例：n为5，dp状态图如下：
代码：
class Solution {
public:int numSquares(int n) {vector<int> dp(n + 1, INT_MAX); //dp[i]表示达到累计和为i，最少所需完全平方数个数dp[0] = 0;for (int i = 1; i * i <= n; i++) //遍历完全平方数for (int j = i * i; j <= n; j++) //遍历累加和if (dp[j - i * i] != INT_MAX) //初始最大值不处理dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);return dp[n];}
};自我总结：
- 动态规划中确定递归顺序中：
- 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
- 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
