C++/数据结构：AVL树

一、AVL树的概念

二、AVL树的实现

2.1节点定义

2.2节点插入

三、AVL树的旋转

3.1新节点插入较高左子树的左侧：右单旋

3.2新节点插入较高右子树的右侧：左单旋

3.3新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

3.4新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

四、AVL树的性能

一、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查

找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M. A delson- V elskii

和E.M. L andis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1）

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在

$O(log_2 n)$，搜索时间复杂度logn。

二、AVL树的实现

2.1节点定义

template <class K,class V>
class AVLtreeNode
{AVLtreeNode<K, V>* _left;AVLtreeNode<K, V>* _right;AVLtreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int bf;AVLtreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), bf(0){}
};

2.2节点插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么

AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点

2. 调整节点的平衡因子

新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性。

pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：

1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可

2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可

此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1，正负2

1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足 AVL树的性质，插入成功

2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新

3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理

bool insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}			}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first>cur->_kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;} cur->_parent = parent;//调整avl树的结构，处理parent的平衡因子while (parent){if (parent->left == cur){parent->bf--;}else if (parent->right == cur){parent->bf++;}//不断向上更改avl树中的bf平衡因子if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//更新去上面的父节点的bfparent = parent->_parent;cur = cur->parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转处理//单旋if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//右边高 {RotateL(parent);//左单旋}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//左边高{RotateR(parent);//右单旋}//双旋处理else if (parent->_bf==-2&&cur->_bf==1)//左边高的右边高,先左旋再右旋{RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent)//右边高的左边高，先右旋再左旋}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;}

三、AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

3.1新节点插入较高左子树的左侧：右单旋

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在。

2. 60可能是根节点，也可能是子树如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树。

void RotateR(Node* parent)//右单旋{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* pparent = parent->_parent;parent->_left = subLR;if (subLR) subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (pparent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left == subL;}else{pparent->_right == subL;}subL->_parent = pparent;}subL->_bf = parent->_bf = 0;return true;}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);  if (bf == 1)//左边高的右边高，新增节点在右{parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == -1)//新增节点在左{parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0 ;}else if (bf == 0)//本身就是新增节点直接导致出现左边高的右边高{parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}}

3.2新节点插入较高右子树的右侧：左单旋

和右单旋的思路以及实现方式大相径庭。只需略微改动。

void RotateL(Node* parent)//左单旋{Node* subR = parent->right;Node* subRL = subR->left;Node* pparent = parent->_parent;parent->right = subRL;if(subRL)subRL->_parent = parent;subR->left = parent;parent->_parent = subR;if (pparent == nullptr){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subR;}else{pparent->_right = subR;}subR->_parent = pparent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}

3.3新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再

考虑平衡因子的更新。

void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);  if (bf == 1)//左边高的右边高，新增节点在右{parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == -1)//新增节点在左{parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0 ;}else if (bf == 0)//本身就是新增节点直接导致出现左边高的右边高{parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}}

3.4新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

参考右左双旋

void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL =subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 1){parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}}

总结：

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR。

当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋。

当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋。

2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL。

当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋。

当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋。

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

四、AVL树的性能

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$log_2 (N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。