问题引入：
在上一篇文章中，我们提到了二叉搜索树在插入时，可能会形成单边树，会降低二叉搜索的性能。因此我们需要平衡二叉搜索树，降低二叉搜索树的高度，使得二叉搜索树趋于一颗完全二叉树的样子，这样就可以提高二叉搜索树的性能。本篇文章就来介绍一种平衡二叉树，AVL树。

1、AVL树

1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
  
  如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log N)，搜索时间复杂度O(log N)。
  我们了解了AVL树的基本规则后，下面我们来实现一下AVL树。

2、AVL树节点的定义

template <class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;// 右子树 - 左子树 的高度差int _bf; // 平衡因子AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}
};

3、AVL树的插入和旋转

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子
当某个节点的平衡因子被修改为2的时候，就需要旋转来调节，因此就存在一下四种旋转方式：

3.1 左单旋

我们将 左单旋的情况抽象出来，如下图所示：

当 h >= 0，且parent->_bf == 2 && subR->_bf == 1时，触发左旋。
在这个图中，只能是在 c 子树新增，才能触发左旋的条件parent->_bf == 2 && subR->_bf == 1。此时进行左旋。
如果是在 b 子树新增，那么仅仅左旋是不够的，
旋转步骤：将60的左树变为30的右树，将60的左树变为30，最后将parent和subR的平衡因子变为0就完成了左旋。

左旋代码实现

// 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;Node* parentParent = parent->_parent;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (_root == parent) // 父节点就是根节点{_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else // 子树情况{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}// 修改平衡因子parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

3.2 右单旋

我们将 右单旋的情况抽象出来，如下图所示：

当 h >= 0，且 parent->_bf == 2 && subL->_bf == -1时，触发右旋。
在这个图中，只能是在 a子树新增，才能触发右旋的条件parent->_bf == -2 && subL->_bf == -1。此时进行右旋。
如果是在 b 子树新增，那么仅仅右旋是不够的。
旋转步骤：将30的右树接到60的左树并断开与30的链接，再将60接到30的右树，并将60的父节点改为3，最后再调整parent与SubL的平衡因子为0，就完成整个右旋。

右旋代码实现

// 右单旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* parentParent = parent->_parent;Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (_root == parent) // 父节点是根节点{_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else // 子树情况{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}// 修改平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

3.3 右左双旋

我们将 右左双旋的所有情况抽象出来，如下图所示：

右左双旋的本质是先将子树右旋，让右侧一侧高，再进行整体的左旋，这样就完成了高度的调整。
双旋的插入位置可以是 b/c 子树，此类型插入之后就会触发右左双旋。
旋转步骤：直接复用右旋，再复用左旋即可。不过旋转的基点不同，右旋是以subR为基点，左旋是以parent为基点旋转的。旋转就完成了，难点在于平衡因子的调节。
平衡因子的调节：
这里主要是 记下subRL最初的平衡因子，它的平衡因子就代表了插入节点是在subRL的左边还是右边插入的，由此可以推出最终的parent与subR的平衡因子。

• 当subRL->_bf = 1时，最后parent->_bf = -1，subR->_bf = 0，subRL->_bf = 0;
• 当subRL->_bf = -1时，最后parent->_bf = 0，subR->_bf = 1，subRL->_bf = 0;
• 当subRL->_bf = 0时，最后parent->_bf = 0，subR->_bf = 0，subRL->_bf = 0;

右左双旋的代码实现

// 右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);if (bf == 0) // subRL 就是插入的{parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1) // subRL 右边边插入{parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1) // subRL 左边插入{parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

3.4 左右双旋

我们将 右左双旋的所有情况抽象出来，如下图所示：

左右双旋与右左双旋的思路是差不多的，我们来看看。
左右双旋的本质是先将子树左旋，让左侧一侧高，在进行整体的右旋,这样就完成了高度的调整。
双旋的插入位置可以是 b/c 子树，此类型插入之后就会触发左右双旋。
旋转步骤：直接复用左旋，再复用右旋即可。不过旋转的基点不同，右旋是以subR为基点，左旋是以parent为基点旋转的。旋转就完成了，难点也是在于平衡因子的调节。
平衡因子的调节：
这里主要是 记下subLR最初的平衡因子，它的平衡因子就代表了插入节点是在subLR的左边还是右边插入的，由此可以推出最终的parent与subL的平衡因子。

• 当subLR->_bf = 1时，最后parent->_bf = 1，subL->_bf = 0，subLR->_bf = 0;
• 当subLR->_bf = 1时，最后parent->_bf = 0，subL->_bf = -1，subLR->_bf = 0;
• 当subLR->_bf = 0时，最后parent->_bf = 0，subL->_bf = 0，subLR->_bf = 0;

左右双旋的代码实现

// 左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(subL);RotateR(parent);if (0 == bf){parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;}else if (1 == bf){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else if (-1 == bf){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

3.5 insert接口实现

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;// 1、先找到插入的位置while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}// 2、new一个节点，并与parent链接起来cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}// 3、调平横 —— 旋转 + 平衡因子的调节while (parent){if (parent->_left == cur){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (0 == parent->_bf){break;}else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2){if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}// 1、旋转让这颗子树平衡了// 2、旋转降低了这颗子树的高度，恢复到跟插入前一样的高度，所以对上一层没有影响，不用继续更新break;}else{assert(false);}}return true;
}

4、判断是否为AVL树

AVL树的本质是搜索二叉树 + 平衡机制，所以验证步骤：
1、首先判断是否为搜索树，写一个中序遍历，看看是不是升序即可；
2、按照AVL树的性质来判断：

• 每个节点的左右子树高度差绝对值小于等于1；
• 节点的平衡因子是否正确；

判断AVL树的代码实现

bool _IsBalance(Node* pRoot)
{if (pRoot == nullptr)return true;int leftHeight = _Height(pRoot->_left);int rightHeight = _Height(pRoot->_right);if (rightHeight - leftHeight != pRoot->_bf){cout << pRoot->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}return rightHeight - leftHeight < 2&& _IsAVLTree(pRoot->_left)&& _IsAVLTree(pRoot->_right);
}size_t _Height(Node* pRoot)
{if (pRoot == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(pRoot->_left);int rightHeight = _Height(pRoot->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}void _InOrder(Node* pRoot)
{if (pRoot == nullptr)return;_InOrder(pRoot->_left);cout << pRoot->_kv.first << " ";_InOrder(pRoot->_right);
}

5、AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(log N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
AVL树的实现代码放在代码仓库：https://gitee.com/xiaobai-is-working-hard-jy/data-structure/tree/master/AVLTree