一、简析前缀和

有一系列元素 $A[a_0,a_1,...,a_n,...]$，前缀和 $pre\_sum[n]=A[0]+A[1]+\cdot \cdot \cdot +A[n]$。
利用前缀和，我们可以很高效地得到 $[L,R]$ 的区间和 ${\sum }_{i=L}^{R}A[i]=pre\_sum[R]-pre\_sum[L-1]$。

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二、相关问题

2.1 题目简述

P8649 [蓝桥杯 2017 省 B] k 倍区间

2.2 算法简析

设 $p[n]=A[0]+A[1]+\cdot \cdot \cdot +A[n]$，则 [L, R] 的区间和为 $p[R]-p[L-1]$。题目要求区间和为 $K$ 的倍数，则 $(p[R]-p[L-1])|K$，即 $(p[R]-p[L-1])\equiv 0(\text{mod}K)$。由模运算率，$p[R]\equiv p[L-1](\text{mod}K)$。满足该条件，就是满足"K倍区间"。
我们可以统计，在模 $K$ 的条件下，前缀和同余的个数。例，$cnt[j]$ 表示前缀和模 $K$ 的余数为 $j$ 的个数，则满足"K倍区间"的个数为 $C_{cnt[j]}^2$。
需要注意的是，余数为 $0$ 是一个特殊情况。因为题目允许区间只有一个元素，所以单独一个元素也是满足要求的（说明该元素是 $K$ 的倍数）。假设余数为 $0$ 的个数为 $x$，则满足题目要求的个数为

$$\begin{array}{rl}{C}_x^2+x& =\frac{x(x-1)}{2}+x\\ & =\frac{(x+1)x}{2}\\ & =C_{x+1}^2\end{array}$$

所以统计余数为 $0$ 的情况时，要初始化为 $1$。

2.3 本题代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int MAX = 1e5 + 5;ll N, K, A[MAX], cnt[MAX];int quickin(void)
{int ret = 0;bool flag = false;char ch = getchar();while (ch < '0' || ch > '9'){if (ch == '-')    flag = true;ch = getchar();}while (ch >= '0' && ch <= '9' && ch != EOF){ret = ret * 10 + ch - '0';ch = getchar();}if (flag)    ret = -ret;return ret;
}int main()
{#ifdef LOCALfreopen("test.in", "r", stdin);#endifN = quickin(), K = quickin();int tmp = 0;cnt[0] = 1;for (int i = 0; i < N; i++){A[i] = quickin();tmp = (tmp + A[i]) % K;cnt[tmp]++;}ll ans = 0;for (int i = 0; i < K; i++){if (cnt[i] > 0)ans += cnt[i] * (cnt[i] - 1) / 2;}cout << ans << endl;return 0;	
} 

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完