day41打卡

46. 携带研究材料（第六期模拟笔试）

状态表示

二维：dp[i] [j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

一维：

dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

状态转移方程

二维：

如果想到dp[i][j]是从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少，那么可以有两个方向推出来dp[i] [j]，

不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1] [j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1] [j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

一维：

dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。

dp[j - weight[i]] + value[i] 表示容量为 j- 物品i重量的背包加上物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）

此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，

初始化

二维：

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {  // 这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {dp[0][j] = value[0];
}

一维：

dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

填表

二维：从左到右

一维：从左到右

返回值

二维：dp[n][m]

一维：dp[n]

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int n = 0, BagWeight = 0;
void solve() {std::vector<int> weight(n, 0);std::vector<int> val(n, 0);for(int i = 0; i < n; i++) {cin >> weight[i];}for(int i = 0; i < n; i++) {cin >> val[i];}//创建dp数组std::vector<std::vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(BagWeight+1, 0));//初始化for(int i = weight[0]; i <= BagWeight; i++) {dp[0][i] = val[0];}//填表for(int i = 1; i < weight.size(); i++) {for(int j = 0; j <= BagWeight; j++) {if(j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j];else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + val[i]);}}cout << dp[weight.size() - 1][BagWeight] << endl;
}int main()
{while(cin >> n >> BagWeight) {solve();}return 0;
}

// 一维dp数组实现
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int main() {// 读取 M 和 Nint M, N;cin >> M >> N;vector<int> costs(M);vector<int> values(M);for (int i = 0; i < M; i++) {cin >> costs[i];}for (int j = 0; j < M; j++) {cin >> values[j];}// 创建一个动态规划数组dp，初始值为0vector<int> dp(N + 1, 0);// 外层循环遍历每个类型的研究材料for (int i = 0; i < M; ++i) {// 内层循环从 N 空间逐渐减少到当前研究材料所占空间for (int j = N; j >= costs[i]; --j) {// 考虑当前研究材料选择和不选择的情况，选择最大值dp[j] = max(dp[j], dp[j - costs[i]] + values[i]);}}// 输出dp[N]，即在给定 N 行李空间可以携带的研究材料最大价值cout << dp[N] << endl;return 0;
}

416. 分割等和子集

一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包。

01背包

只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

背包的体积为sum / 2
背包要放入的商品（集合里的元素）重量为元素的数值，价值也为元素的数值
背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
背包中每一个元素是不可重复放入。

状态表示

dp[j]表示背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。

状态转移方程

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。

所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

初始化

从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。

填表顺序

从左到右

返回值

dp[n]

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {//判断符合条件int sum = 0;for(auto& e : nums) {sum += e;}if(sum % 2 == 1) return false;int target = sum / 2;vector<int> dp(10001, 0);//01背包for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {for(int j = target; j >= nums[i]; j--) {dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}}if(target == dp[target]) return true;return false;}
};