P6533 [COCI2015-2016#1] RELATIVNOST

题目大意

小$L$在卖画。这些画分为彩色画和黑白画，小$L$希望有至少$c$个人会买走他至少一张彩色画。

第$i$个人至多会购买$a_i$张彩色画或者$b_i$张黑白画，且每个人至少购买一张画。

每个人只能选择购买彩色画或黑白画。

有$q$次修改，每次修改会选择一个$i$并修改$a_i$和$b_i$。求每次修改之后能满足小$L$的要求的买画的方案数。输出答案模$10^4+7$后的值。

$1\le n,q\le 10^5,1\le c\le 20$

时间限制$4000ms$，空间限制$32MB$。

题解

设$f_{i,j}$表示前$i$个人有$j$个人选择彩色画的方案数，则转移式为

$$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}\times a_i+f_{i-1,j}\times b_i$$

因为有修改，所以我们考虑用线段树来优化。用线段树维护每一个区间的方案数，那么

$$tr[k].f[i+j]+=tr[lc].f[i]\times tr[rc].f[j]$$

在只有一个人时，$tr[k].f[1]=a_i,tr[k].f[0]=b_i$。

空间限制为$32MB$，对于$\text{int}$类型能开$24\times 1024\times 1024/4=8388608$的大小。线段树的大小为$4nc=8000000$，$a,b$数组的大小都是$10^5$，是可行的。注意空间复杂度，能节省的空间尽量节省。

时间复杂度为$O(n{c}^2\log n)$，空间复杂度为$O(nc)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define lc k<<1
#define rc k<<1|1
using namespace std;
const int N=100000;
const int mod=1e4+7;
int n,c,q,a[N+5],b[N+5],tr[4*N+5][21];
void pt(int k){for(int i=0;i<=c;i++) tr[k][i]=0;for(int i=0;i<=c;i++){for(int j=0;j<=c;j++){tr[k][min(i+j,c)]=(tr[k][min(i+j,c)]+tr[lc][i]*tr[rc][j])%mod;}}
}
void build(int k,int l,int r){if(l==r){tr[k][1]=a[l]%mod;tr[k][0]=b[l]%mod;return;}int mid=l+r>>1;build(lc,l,mid);build(rc,mid+1,r);pt(k);
}
void ch(int k,int l,int r,int p,int x,int y){if(l==r&&l==p){tr[k][1]=x%mod;tr[k][0]=y%mod;return;}int mid=l+r>>1;if(p<=mid) ch(lc,l,mid,p,x,y);else ch(rc,mid+1,r,p,x,y);pt(k);
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&c);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);build(1,1,n);scanf("%d",&q);while(q--){int p,x,y;scanf("%d%d%d",&p,&x,&y);ch(1,1,n,p,x,y);printf("%d\n",tr[1][c]);}return 0;
}