什么是生存分析

生存分析（回归）模型时间到感兴趣事件的持续时间。生存分析是一种特殊的回归，与传统的回归任务不同，具体如下：

• 标签始终为正值，因为不能等待负时间直到事件发生
• 标签可能不是完全已知，或被截断，因为“测量时间需要时间”

第二点至关重要，更深入地研究一下。正如从名称中猜到的那样，生存分析的最早应用之一是对给定人群的死亡率进行建模。以NCCTG肺癌数据集为例。前8列表示特征，最后一列“生存时间”表示标签。

Inst	Age	Sex	ph.ecog	ph.karno	pat.karno	meal.cal	wt.loss	Time to death (days)
3	74	1	1	90	100	1175	N/A	306
3	68	1	0	90	90	1225	15	455
3	56	1	0	90	90	N/A	15	[1010,+∞)
5	57	1	1	90	60	1150	11	210
1	60	1	0	100	90	N/A	0	883
12	74	1	1	50	80	513	0	[1022,+∞)
7	68	2	2	70	60	384	10	310

仔细看一下第三位患者的标签，是一个范围，而不是一个单一的数字。第三位患者的标签被称为被截断，因为由于某种原因实验者无法获得该标签的完整测量。可能的情况之一：患者在第1010天幸存并于第1011天走出诊所，因此他的死亡并没有直接观察到。另一种可能性：由于实验无法永远进行，实验被提前中断，无法观察到他的死亡。在任何情况下，他的标签是，这意味着他的死亡时间可以是任何大于1010的数字，例如2000、3000或10000。

有四种类型的截断：

1. 未被截断：标签未被截断，以单一数字给出
2. 右截断：标签的形式为，其中是下限
3. 左截断：标签的形式为，其中是上限
4. 区间截断：标签的形式为，其中和分别是下限和上限。

右截断是最常用的。

加速故障时间模型

加速失效时间（AFT） 模型是生存分析中最常用的模型之一。该模型的形式如下：

$$\ln Y=⟨\mathbf{w},\mathbf{x}⟩+\sigma Z$$

其中：

• $x$ 是表示特征$R^d$的向量

• $w$是由$d$个系数组成的向量，每个系数对应一个特征

• $⟨\cdot ,\cdot ⟩$是向量的点积

• $\ln (\cdot )$是自然对数

• $Y$和$Z$是随机变量

  • $Y$是输出标签
  • $Z$是已知概率分布的随机变量。常见的选择包括正态分布、逻辑分布和极值分布。直观地说，$Z$表示将预测值$⟨\mathbf{w},\mathbf{x}⟩$从真实对数标签$\ln Y$远离的“噪声”。

• $\sigma$是缩放$Z$的参数

请注意，该模型是线性回归模型$Y=⟨\mathbf{w},\mathbf{x}⟩$的广义形式。为了使AFT与梯度提升一起工作，将模型修改为：

$$\ln Y=\mathcal{T}(\mathbf{x})+\sigma Z$$

其中$\mathcal{T}(\mathbf{x})$表示给定输入$\mathbf{x}$的决策树集合的输出。由于$Z$是随机变量，可以为表达式$\ln Y=\mathcal{T}(\mathbf{x})+\sigma Z$定义一个似然性。因此，XGBoost 的目标是通过拟合良好的决策树集合$\mathcal{T}(\mathbf{x})$来最大化（对数）似然性。

如何使用

第一步是将标签表示为范围的形式，使得每个数据点都与两个数字关联，即标签的下界和上界。对于未被截断的标签，请使用形式的退化区间。

Censoring type	Interval form	Lower bound finite?	Upper bound finite?
Uncensored	[a, a]	✔	✔
Right-censored	[a, +∞)	✔	✘
Left-censored	[0, b]	✔	✔
Interval-censored	[a, b]	✔	✔

将下界数值收集到一个数组中（y_lower_bound），将上界数值收集到另一个数组中（y_upper_bound）。通过调用xgboost.DMatrix.set_float_info()，将范围标签与数据矩阵对象关联起来：

import numpy as np
import xgboost as xgb# 4-by-2 Data matrix
X = np.array([[1, -1], [-1, 1], [0, 1], [1, 0]])
dtrain = xgb.DMatrix(X)# Associate ranged labels with the data matrix.
# This example shows each kind of censored labels.
#                         uncensored    right     left  interval
y_lower_bound = np.array([      2.0,     3.0,     0.0,     4.0])
y_upper_bound = np.array([      2.0, +np.inf,     4.0,     5.0])
dtrain.set_float_info('label_lower_bound', y_lower_bound)
dtrain.set_float_info('label_upper_bound', y_upper_bound)params = {'objective': 'survival:aft','eval_metric': 'aft-nloglik','aft_loss_distribution': 'normal','aft_loss_distribution_scale': 1.20,'tree_method': 'hist', 'learning_rate': 0.05, 'max_depth': 2}bst = xgb.train(params, dtrain, num_boost_round=100,evals=[(dtrain, 'train')])

将目标参数objective设置为survival:aft，将评估指标设置eval_metric为aft-nloglik，以便最大化AFT模型的对数似然。 （XGBoost实际上将最小化负对数似然，因此称为aft-nloglik）

参数aft_loss_distribution对应于AFT模型中项$Z$的分布，而aft_loss_distribution_scale对应于缩放因子$\sigma$ 。

目前，可以从三个概率分布中选择aft_loss_distribution：

aft_loss_distribution	Probability Density Function (PDF)
normal	$\frac{\exp (-z^2/2)}{\sqrt{2\pi }}$
logistic	$\frac{e^z}{(1+e^z{)}^2}$
extreme	$e^z{e}^{-\exp z}$