我们之前讲过01背包，现在我们讲讲背包问题的进阶，先说完全背包。

完全背包相对于01背包的区别在于商店每个物品的无限性，就是可以被拿无数次，而01背包每个物品只能拿一次。

完全背包问题中，每个物品可以选择无限次，因此对于背包的每个容量，我们需要考虑选择当前物品的各种个数来取得最大价值。这就需要在动态规划的过程中，以背包的容量为维度，对每个容量都不断更新最大价值。

使用一维数组作为动态规划的状态转移数组可以简化实现。假设当前背包的容量为 j，物品的价格为 v，重量为 w，dp[j] 表示当前容量为 j 时的最大价值。状态转移方程可以表示为：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - w] + v)

在每次更新当前物品的最大价值时，我们需要考虑选择不同的物品个数，即选择 w 的倍数。因此，我们只需要维护一个一维数组 dp，它的长度为背包的容量，代表不同容量下的最大价值。

每个容量 j 对应的最大价值 dp[j] 都可以由之前的状态 dp[j-w], dp[j-2w], ... 推导出来。这样，可以在一次遍历中更新所有的背包容量，而不需要维护一个二维数组。

当用一维数组进行状态转移时，可以通过正向的遍历顺序来更新数组的值，确保在计算当前状态时所需的前一状态已经被计算过。这样，通过不断更新 dp[j - w] 可以得到正确的最大价值。

完全背包的大致模板

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>using namespace std;int knapsack(int N, int V, vector<int>& wt, vector<int>& val) {// 初始化dp数组，表示背包在容量为i时的最大价值vector<int> dp(V + 1, 0);// 逐个考虑每个物品for (int i = 0; i < N; ++i) {// 完全背包，正向遍历容量for (int j = wt[i]; j <= V; ++j) {dp[j] = max(dp[j], dp[j - wt[i]] + val[i]);}}return dp[V];
}int main() {int N = 3; // 物品的数量int V = 5; // 背包的容量vector<int> wt = {2, 3, 4}; // 物品的重量vector<int> val = {3, 4, 5}; // 物品的价值cout << knapsack(N, V, wt, val) << endl;return 0;
}

为了加深对完全背包的印象，我们通过一道例题来深刻理解下，

小明有一个容量为 VV 的背包。

这天他去商场购物，商场一共有 NN 种物品，第 ii 种物品的体积为 wiwi​，价值为 vivi​，每种物品都有无限多个。

小明想知道在购买的物品总体积不超过 VV 的情况下所能获得的最大价值为多少，请你帮他算算。

这道题完全可以套用以上的模板，但是上述示例模板较为冗长，这里精简代码为：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 2;
int dp[N];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i= 1;i<=n;i++){int w,v;cin>>w>>v;for(int j=w;j<=m;j++){dp[j] = max(dp[j] , dp[j - w] + v);}}cout << dp[m] << endl;return 0;
}

接下来，我们讲讲多重背包，多重背包和01背包区别同样是在物品可选择个数上面，多重背包的某个物品最多可以拿k个，一般在解决这类问题时，我们一般在原有的01背包的模板的第二层for循环之前进行while(k--)操作，就是每个物品更新k次。写代码为：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 105;
int dp[N];
int main()
{int n,m;cin>> n >> m;for(int i = 1; i <= n;i++){int w,v,s;cin>>w>>v >> s;while(s--)
{for(int j= m;j>=w;j--){dp[j] = max(dp[j],dp[j  - w] + v);}
}}cout << dp[m] << endl;return 0;
}

这样在较小的输入情况下可以通过，但是不具有普遍性，我们通常采用单调队列的优化来解决多重背包的一般性问题。

以下为模板：
 

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;const int MAXN = 1005;
const int MAXW = 20005;
int weight[MAXN];
int value[MAXN];
int count[MAXN];
int dp[MAXW];void MultipleKnapsack(int weight[], int value[], int count[], int n, int W) {memset(dp, 0, sizeof(dp));for (int i = 0; i < n; i++) {for (int k = 1; k <= count[i]; k <<= 1) {for (int j = W; j >= k * weight[i]; j--) {dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);}count[i] -= k;}if (count[i] > 0) {for (int j = W; j >= count[i] * weight[i]; j--) {dp[j] = max(dp[j], dp[j - count[i] * weight[i]] + count[i] * value[i]);}}}
}int main() {int n, W;cin>>n>>W;for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> weight[i] >> value[i] >> count[i];}MultipleKnapsack(weight, value, count, n, W);cout  << dp[W] << endl;return 0;
}

现在讲完了多重背包和完全背包，下次我们会讲背包问题的最后两种情况，二维费用背包和分组背包，敬请期待！

原完全背包板子题链接：

https://www.lanqiao.cn/problems/1175/learning/?page=1&first_category_id=1&name=%E5%B0%8F%E6%98%8E%E7%9A%84%E8%83%8C%E5%8C%852
原多重背包(未优化)板子题链接：
https://www.lanqiao.cn/problems/1176/learning/?page=1&first_category_id=1&name=%E5%B0%8F%E6%98%8E%E7%9A%84%E8%83%8C%E5%8C%853