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神经网络（neural network）的结构

• 输入层（input layer）：第 0 层（layer 0）
• 隐藏层（hidden layer）：第 1 层（layer 1）、第 2 层（layer 2）、······、第 $l-1$ 层（layer $l-1$）
• 输出层（output layer）：第 $l$ 层（layer $l$）

神经元中常用的激活函数（activation function）

• 线性激活函数（linear activation function）（用于线性回归）：输出可正可负，相当于没有使用激活函数，所以不能使用该函数作为激活函数！

$$g(z)=z$$

• ReLU（rectified linear unit）函数（用于线性回归）：输出为非负，常用于神经网络的隐藏层

$$g(z)=\max (0,z)=\{\begin{array}{l}0,z<0\\ z,z\ge 0\end{array}$$

• sigmoid 函数（用于二元分类/逻辑回归）：输出只能为正，常用于神经网络的输出层

$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}=P(\hat{y}=1|\vec{x})$$

• softmax 函数（用于多元分类）：常用于神经网络的输出层

$$g(z_i)=\frac{e^{z_i}}{{\sum }_{j=1}^N{e}^{z_j}}=P(\hat{y}=i|\vec{x})$$

• 改良的 softmax 函数：指数运算的结果容易过大而导致溢出，因此可进行如下改进：

$$\begin{array}{rl}g(z_i)& =\frac{e^{z_i}}{{\sum }_{j=1}^N{e}^{z_j}}\\ & =\frac{C{e}^{z_i}}{C{\sum }_{j=1}^N{e}^{z_j}}\\ & =\frac{e^{z_i+\ln C}}{{\sum }_{j=1}^N{e}^{z_j+\ln C}}\\ & =\frac{e^{z_i+C^{\prime }}}{{\sum }_{j=1}^N{e}^{z_j+C^{\prime }}}\end{array}$$

为防止溢出，一般 $C^{\prime }$ 取输入信号的最大值。

神经网络的表示

继续以上图为例（设神经元的激活函数为 $g(z)$）：

• 输入层：$\vec{x}={\vec{a}}^{[0]}=(a_1^{[0]},a_2^{[0]})$
• 第 1 层：输入 ${\vec{a}}^{[0]}=(a_1^{[0]},a_2^{[0]})$，输出 ${\vec{a}}^{[1]}=(a_1^{[1]},a_2^{[1]},a_3^{[1]},a_4^{[1]})$
  • $a_1^{[1]}=g({\vec{w}}_1^{[1]}\cdot {\vec{a}}^{[0]}+b_1^{[1]})$
  • $a_2^{[1]}=g({\vec{w}}_2^{[1]}\cdot {\vec{a}}^{[0]}+b_2^{[1]})$
  • $a_3^{[1]}=g({\vec{w}}_3^{[1]}\cdot {\vec{a}}^{[0]}+b_3^{[1]})$
  • $a_4^{[1]}=g({\vec{w}}_4^{[1]}\cdot {\vec{a}}^{[0]}+b_4^{[1]})$
  • 矩阵形式：令 $W^{[1]}=({\vec{w}}_1^{[1]},{\vec{w}}_2^{[1]},{\vec{w}}_3^{[1]},{\vec{w}}_4^{[1]}{)}_{2\times 4}$，$B^{[1]}=(b_1^{[1]},b_2^{[1]},b_3^{[1]},b_4^{[1]}{)}_{1\times 4}$，则 ${\vec{a}}^{[1]}=g({\vec{a}}^{[0]}{W}^{[1]}+B^{[1]})$
• 第 2 层：输入 ${\vec{a}}^{[1]}=(a_1^{[1]},a_2^{[1]},a_3^{[1]},a_4^{[1]})$，输出 ${\vec{a}}^{[2]}=(a_1^{[2]},a_2^{[2]},a_3^{[2]},a_4^{[2]},a_5^{[2]})$
  • $a_1^{[2]}=g({\vec{w}}_1^{[2]}\cdot {\vec{a}}^{[1]}+b_1^{[2]})$
  • $a_2^{[2]}=g({\vec{w}}_2^{[2]}\cdot {\vec{a}}^{[1]}+b_2^{[2]})$
  • $a_3^{[2]}=g({\vec{w}}_3^{[2]}\cdot {\vec{a}}^{[1]}+b_3^{[2]})$
  • $a_4^{[2]}=g({\vec{w}}_4^{[2]}\cdot {\vec{a}}^{[1]}+b_4^{[2]})$
  • $a_5^{[2]}=g({\vec{w}}_5^{[2]}\cdot {\vec{a}}^{[1]}+b_5^{[2]})$
  • 矩阵形式：令 $W^{[2]}=({\vec{w}}_1^{[2]},{\vec{w}}_2^{[2]},{\vec{w}}_3^{[2]},{\vec{w}}_4^{[2]},{\vec{w}}_5^{[2]}{)}_{4\times 5}$，$B^{[2]}=(b_1^{[1]},b_2^{[1]},b_3^{[1]},b_4^{[1]},b_5^{[1]}{)}_{1\times 5}$，则 ${\vec{a}}^{[2]}=g({\vec{a}}^{[1]}{W}^{[2]}+B^{[2]})$
• 第 3 层：输入 ${\vec{a}}^{[2]}=(a_1^{[2]},a_2^{[2]},a_3^{[2]},a_4^{[2]},a_5^{[2]})$，输出 ${\vec{a}}^{[3]}=(a_1^{[3]},a_2^{[3]},a_3^{[3]})$
  • $a_1^{[3]}=g({\vec{w}}_1^{[3]}\cdot {\vec{a}}^{[2]}+b_1^{[3]})$
  • $a_2^{[3]}=g({\vec{w}}_2^{[3]}\cdot {\vec{a}}^{[2]}+b_2^{[3]})$
  • $a_3^{[3]}=g({\vec{w}}_3^{[3]}\cdot {\vec{a}}^{[2]}+b_3^{[3]})$
  • 矩阵形式：令 $W^{[3]}=({\vec{w}}_1^{[3]},{\vec{w}}_2^{[3]},{\vec{w}}_3^{[3]}{)}_{5\times 3}$，$B^{[3]}=(b_1^{[3]},b_2^{[3]},b_3^{[3]}{)}_{1\times 3}$，则 ${\vec{a}}^{[3]}=g({\vec{a}}^{[2]}{W}^{[3]}+B^{[3]})$
• 第 4 层：输入 ${\vec{a}}^{[3]}=(a_1^{[3]},a_2^{[3]},a_3^{[3]})$，输出 ${\vec{a}}^{[4]}=(a_1^{[4]})$
  • $a_1^{[4]}=g({\vec{w}}_1^{[4]}\cdot {\vec{a}}^{[3]}+b_1^{[4]})$
  • 矩阵形式：令 $W^{[4]}=({\vec{w}}_1^{[4]}{)}_{3\times 1}$，$B^{[4]}=(b_1^{[3]},{)}_{1\times 1}$，则 ${\vec{a}}^{[4]}=g({\vec{a}}^{[3]}{W}^{[4]}+B^{[4]})$
• 第 $l$ 层：输入 ${\vec{a}}^{[l-1]}=(...,a_j^{[l-1]},...)$，输出 ${\vec{a}}^{[l]}=(...,a_j^{[l]},...)$
  • $a_j^{[l]}=g({\vec{w}}_j^{[l]}\cdot {\vec{a}}^{[l-1]}+b_j^{[l]})$

神经网络的代码实现

以上图为例：

import numpy as np# sigmoid 函数
def sigmoid_function(x):return 1 / (1 + np.exp(-x))# softmax 函数
def softmax_function(a):exp_a = np.exp(a)sum_exp_a = np.sum(exp_a)y = exp_a / sum_exp_areturn y# 改良的 softmax 函数（防止在指数运算时发生溢出）
def softmax_function_trick(a):c = np.max(a)exp_a = np.exp(a - c)sum_exp_a = np.sum(exp_a)y = exp_a / sum_exp_areturn y# ReLU 函数
def relu_function(x):return np.maximum(0, x)# 线性激活函数（恒等函数）
def linear_activation_function(x):return x# 初始化配置各个神经元的参数
def init_network():network = {} # 字典类型# 隐藏层第 1 层（layer 1）：一共 4 个神经元network['W1'] = np.array([[0.1, 0.2, 0.3, 0.4],[0.5, 0.6, 0.7, 0.8]])network['B1'] = np.array([[0.1, 0.2, 0.3, 0.4]])# 隐藏层第 2 层（layer 2）：一共 5 个神经元network['W2'] = np.array([[0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5],[0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0],[0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5],[0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0]])network['B2'] = np.array([[0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5]])# 隐藏层第 3 层（layer 3）：一共 3 个神经元network['W3'] = np.array([[0.1, 0.2, 0.3],[0.4, 0.5, 0.6],[0.7, 0.8, 0.9],[0.6, 0.7, 0.8],[0.1, 0.2, 0.3]])network['B3'] = np.array([[0.1, 0.2, 0.3]])# 隐藏层第 4 层（layer 4）：一共 1 个神经元network['W4'] = np.array([[0.1],[0.2],[0.3]])network['B4'] = np.array([[0.1]])return network# 神经元的内部实现：输入A，权重W，偏置B，激活函数g()，输出A_out
def dense(A, W, B, g):Z = np.matmul(A, W) + B # 这里是矩阵乘法，而非点乘A_out = g(Z)return A_out# 神经网络的搭建
def predict(network, X):W1, W2, W3, W4 = network['W1'], network['W2'], network['W3'], network['W4']B1, B2, B3, B4 = network['B1'], network['B2'], network['B3'], network['B4']A1 = dense(X, W1, B1, sigmoid_function) # layer 1A2 = dense(A1, W2, B2, sigmoid_function) # layer 2A3 = dense(A2, W3, B3, sigmoid_function) # layer 3A4 = dense(A3, W4, B4, linear_activation_function) # layer 4return A4# 从这里开始执行
if __name__ == '__main__':network = init_network() # 配置神经网络的参数X = np.array([[1.0, 0.5]]) # 输入层（layer 0）Y = predict(network, X) # 输出层（layer 4）print(Y)

使用已学习完毕的神经网络进行推理（inference）

• 测试集：源自 MNIST 数据集（研究手写数字识别的数据集），数据集的下载脚本位于代码仓库的 /dataset/mnist.py
• one-hot 表示：将正确解标签表示为 1，其他错误解标签表示为 0 的表示方法，例如：

# y: 图像数据经过神经网络计算后的输出结果，对应数字 0~9 的概率，即“0”的概率为 0.1，“2”的概率最高，为 0.6
y = [0.1, 0.05, 0.6, 0.0, 0.05, 0.1, 0.0, 0.1, 0.0, 0.0]
# t: 监督数据，将正确解标签表示为 1，其他错误解标签表示为 0，这里正确解对应数字“2”
t = [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

• 代码执行流程：

  • 第一次调用函数 load_mnist 时，会自动下载 MNIST 数据集并转换为字典类型的数据，并创建文件 mnist.pkl；以后再调用时，会直接读入该文件，节省时间
  • 调用函数 init_network，这里读入文件 sample_weight.pkl，内容为已学习好的神经网络参数（至于如何学习到这些参数会在下一篇介绍）
  • 对 MNIST 中的每个图像数据，调用函数 predict，用上述参数构建神经网络，对该图像进行推理（具体是对 0 到 9 依次给出一个概率，概率最高的数字 x 说明图像最有可能是数字 x）
  • 与正确解标签进行对比，统计正确分类的个数，并得出精度结果

• 代码实现：

# coding: utf-8import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 为了导入父目录的文件而进行的设定
import numpy as np
import pickle
from dataset.mnist import load_mnist# ============================= activation functions ===================================# sigmoid 函数
def sigmoid_function(x):return 1 / (1 + np.exp(-x))# softmax 函数
def softmax_function(a):exp_a = np.exp(a)sum_exp_a = np.sum(exp_a)y = exp_a / sum_exp_areturn y# 改良的 softmax 函数（防止在指数运算时发生溢出）
def softmax_function_trick(a):c = np.max(a)exp_a = np.exp(a - c)sum_exp_a = np.sum(exp_a)y = exp_a / sum_exp_areturn y# ReLU 函数
def relu_function(x):return np.maximum(0, x)# 线性激活函数（恒等函数）
def linear_activation_function(x):return x# ============================= neural network ===================================# 神经元的内部实现：输入A，权重W，偏置B，激活函数g()，输出A_out
def dense(A, W, B, g):Z = np.matmul(A, W) + B # 这里是矩阵乘法，而非点乘A_out = g(Z)return A_out# 初始化配置各个神经元的参数，可直接导入记录了神经网络参数的pickle文件
def init_network(filename):with open(filename, 'rb') as f:network = pickle.load(f)return network# 神经网络的搭建
def predict(network, X):W1, W2, W3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']B1, B2, B3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']A1 = dense(X, W1, B1, sigmoid_function) # layer 1A2 = dense(A1, W2, B2, sigmoid_function) # layer 2A3 = dense(A2, W3, B3, softmax_function_trick) # layer 3return A3# 获取训练集和测试集
def get_data():# 训练集数据和结果，测试集数据和结果# 参数说明：展开为一维数组，不使用归一化，不使用 one-hot 标签（直接使用 7，2 这样简单保存正确解标签）# 详细参数说明见代码仓库内的 dataset/mnist.py(x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(flatten=True, normalize=True, one_hot_label=False)return x_train, t_train, x_test, t_test# 模型评估
def assessment():pass# ============================= main ===================================if __name__ == '__main__':network = init_network('sample_weight.pkl') # 配置神经网络的参数_, _, X, T = get_data() # X：测试集数据，T：测试集正确结果accuracy_cnt = 0 # 记录推理正确的个数for i in range(X.shape[0]): # X.shape[0] 即为测试集数据个数Y = predict(network, X[i])  # 对测试集每个数据进行推理，得到 10 个概率数值的一维数组# print(Y)# axis=0：返回每一列最大值的索引；axis=1：返回每一行最大值的索引# axis=None：降为一维数组后，返回最大值的索引p = np.argmax(Y, axis=None) # 返回概率最大的索引if p == T[i]: # 如果推理结果与测试集结果相同，说明推理正确accuracy_cnt += 1print(f"accuracy: {float(accuracy_cnt) / X.shape[0]}") # 精度结果：93.52%