题目链接：top-k问题：最小的K个数

1.方法一

各种排序算法（由于本文主要讲有关堆的使用，这里不做有关排序算法解决本题的介绍。对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决。

2.方法二

记录数组arr[]的元素个数n，用向上调整法建一个小根堆。由于用向上调整法建立小根堆后，遍历堆中的数据时，下一个元素的值一定>= 上一个元素的值。然后删除小根堆的堆顶元素k次到存储数据的数组tmp[]中,这样tmp[]中记录的就是前k个最小的数。

代码如下：

class Solution {public int[] smallestK(int[] arr, int k) {PriorityQueue<Integer> heap = new PriorityQueue<>(); //n*logn  以向上插入的方法建堆for(int i = 0; i < arr.length;i++){heap.offer(arr[i]);}//k*logn   删除堆顶的K个元素到目标数组中int[] tmp = new int[k];//创建数组tmp[]存储前k个最小数据for(int i = 0;i < k;i++){tmp[i] = heap.poll();}return tmp;}
}

时间复杂度

以向上调整法建堆的过程中时间复杂度为T1(n) = (n+1)*( log2(n+1) - 2) + 2，删除堆顶k个元素的时间复杂度为T2(n) = k*log2( n+1 ),因此总的时间复杂度为：T(n）= (n+k+1) * log2(n+1);

3.方法三

思考：arr[]数组中有n个元素，我们只需要取出前k个最小的元素。在方法二中，我们建立了一个大小为n的小根堆。考虑到我们最终只需要保留k个数据，我们能否建立一个大小为k的堆，在这个堆上对数据进行操控，从而降低程序的时间复杂度呢？答案是肯定的。

图示如下：

代码如下：

//实现comparator接口，为了创立比较器
class Imp implements Comparator<Integer>{public int compare(Integer o1,Integer o2){return o2.compareTo(o1);    //注意，创建大根堆，必须o2在前o1在后}
}
class Solution {public int[] smallestK(int[] arr, int k) {int[] tmp = new int[k];if(k == 0){//k==0 单独处理，防止空指针异常return tmp;}Imp imp = new Imp();PriorityQueue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>(imp);//建立一个大小为3的大根堆for(int i = 0;i < k;i++){maxHeap.offer(arr[i]);} for(int i = k;i < arr.length;i++){//arr[i]比堆顶元素小if(arr[i] < maxHeap.peek()){maxHeap.poll();maxHeap.offer(arr[i]);}}for(int i = 0;i < k;i++){tmp[i] = maxHeap.poll();}return tmp;}
}

时间复杂度

建堆过程：T1(n) = k*log2(k + 1)

 for(int i = 0;i < k;i++){maxHeap.offer(arr[i]);} 

删除添加元素过程：T2(n) = (n-k) * log2(k + 1);

for(int i = k;i < arr.length;i++){//arr[i]比堆顶元素小if(arr[i] < maxHeap.peek()){maxHeap.poll();maxHeap.offer(arr[i]);}}

所以总的时间复杂度T(n) = n*log2(k+1)-----（1）
对比方法二的时间复杂度T(n）= (n+k+1) * log2(n+1) -----（2）
(1)式的值更小，特别当n是一个极大的数比如100000，而k只是一个就很小的数比如10时，两个式子在对数真数部分的差值巨大，(1)式的值远小于(2)式。
当然方法二也有比较麻烦的地方，在于它需要创建一个大根堆，而Java默认创建的是小根堆，因此需要一个类实现Comparator接口并重写里面的compare()方法。这部分内容我会在其他文章做介绍，这里由于不是本文的核心暂时就忽略掉了。