C++古老算法介绍

本篇文章我们来介绍一下常用算法

1.贪心算法

贪心算法（Greedy Algorithm）是一种解决问题的策略，它在每一步都做出当前看来最优的选择，而不考虑全局最优解。（局部最优解得到整体最优解）贪心算法通常适用于满足"贪心选择性质"和"最优子结构性质"的问题。

贪心算法使用条件:

贪心算法适用的条件包括两个性质：贪心选择性质和最优子结构性质。

贪心选择性质（Greedy Choice Property）：通过每一步的局部最优选择，能够得到全局最优解。也就是说，在每一步选择中，都做出当前看起来最好的选择，而不考虑对后续步骤的影响。

最优子结构性质（Optimal Substructure）：问题的最优解包含了子问题的最优解。换句话说，通过求解子问题的最优解，可以推导出原问题的最优解。

当一个问题满足这两个性质时，可以考虑使用贪心算法来求解。但需要注意，并非所有问题都满足这两个性质，所以不能盲目地应用贪心算法。

代码实例:

以下是一个使用贪心算法解决找零钱问题的示例（经典）：

假设有面额为1元、5元、10元、25元的硬币，现在要找零给定金额的钱数，求最少需要多少个硬币。

#include <iostream>
#include <vector>std::vector<int> greedyCoinChange(int amount, std::vector<int>& coins) {std::vector<int> result;for (int i = coins.size() - 1; i >= 0; i--) {while (amount >= coins[i]) { // 尽可能多地选择当前面额的硬币result.push_back(coins[i]);amount -= coins[i];}}return result;
}int main() {int amount = 48;std::vector<int> coins = {25, 10, 5, 1};std::cout << "Amount: " << amount << std::endl;std::cout << "Coins used: ";std::vector<int> result = greedyCoinChange(amount, coins);for (int coin : result) {std::cout << coin << " ";}std::cout << std::endl;return 0;
}

这段代码中，我们从最大面额的硬币开始选择，如果当前金额仍然大于等于当前面额的硬币，则选择该硬币，并减去相应的金额。重复这个过程直到金额变为0。

贪心算法在此问题中能够得到最优解，因为每次选择都是局部最优的。但需要注意的是，贪心算法并不适用于所有问题，有些问题可能需要动态规划等其他方法来求解。在使用贪心算法时，需要仔细分析问题性质，并确保它满足贪心选择性质和最优子结构性质。

2.递归算法

递归算法是一种通过调用自身来解决问题的算法。它将一个大问题分解为一个或多个相同或类似的子问题，并通过逐级求解子问题来达到最终解决整个问题的目的。

递归算法通常包含以下两个重要组成部分：

基本情况（Base Case）：确定递归算法何时停止，不再进行递归调用。基本情况应该是最简单的情况，无需进一步递归求解即可得到结果。

递归调用（Recursive Call）：在算法中使用相同的函数来解决规模更小的子问题。通过反复调用自身，将大问题转化为规模较小且相同性质的子问题。

在编写递归算法时，需要注意以下几点：

确保每次递归调用都能使问题规模减小，否则可能会导致无限循环。
保证基本情况被正确处理，确保最终可以终止递归过程。
尽量避免重复计算和重复工作，利用已经计算过的结果进行缓存或剪枝操作。

斐波那契数列

#include <iostream>int fibonacci(int n) {if (n <= 0) {return -1; // 错误情况，返回负数表示错误} else if (n == 1 || n == 2) {return 1; // 基本情况，斐波那契数列的第一项和第二项为1} else {return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2); // 递归调用求解前两个斐波那契数之和}
}int main() {int n = 6;int result = fibonacci(n);std::cout << "第 " << n << " 个斐波那契数是：" << result << std::endl;return 0;
}

回溯法：

回溯法（Backtracking）是一种解决问题的算法思想，通常用于求解在给定约束条件下的所有可能解。它通过尝试所有可能的选择，并逐步构建出候选解，如果当前构建的部分无法满足问题的限制条件，就会回溯到上一个状态进行其他选择。

八皇后问题

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;bool isValid(vector<int>& board, int row, int col) {for (int i = 0; i < row; ++i) {if (board[i] == col || abs(board[i] - col) == abs(i - row)) {return false;}}return true;
}void backtrack(vector<vector<string>>& res, vector<int>& board, int row, int n) {if (row == n) {vector<string> solution(n, string(n, '.'));for (int i = 0; i < n; ++i) {solution[i][board[i]] = 'Q';}res.push_back(solution);} else {for (int col = 0; col < n; ++col) {if (isValid(board, row, col)) {board[row] = col;backtrack(res, board, row + 1, n);board[row] = -1;}}}
}vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {vector<vector<string>> res;vector<int> board(n, -1);backtrack(res, board, 0, n);return res;
}int main() {int n = 4;vector<vector<string>> solutions = solveNQueens(n);for (const auto& solution : solutions) {for (const auto& row : solution) {cout << row << endl;}cout << "----------------" << endl;}return 0;
}

在这个示例中，我们通过回溯法解决了八皇后问题。solveNQueens 函数返回了一个二维数组，其中每个元素代表一种合法的八皇后布局。

回溯算法的关键在于 isValid 和 backtrack 函数。isValid 函数用于判断当前位置是否可以放置皇后，而 backtrack 函数用于递归地尝试所有可能的选择，并生成符合要求的解。