从傅立叶变换到奥运五环

傅立叶变换的本质

离散傅立叶变换的本质就是用一系列的正弦（或者余弦）函数的和来拟合一个周期函数f(t)。公式如下：

$f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}(a_ksin(\frac{2\pi k}{T}t)+b_kcos(\frac{2\pi k}{T}t))$ (1)

其中T是f(t)的周期，即f(t+T)=f(t)对任意t成立。 $cos(\frac{2\pi k}{T}t)$ 和 $sin(\frac{2\pi k}{T}t)$ 的周期是 $\frac{T}{k}$ 。换句话说，后两者的频率是f(t)的频率的k倍。这说明，我们在拟合任意一个周期函数时，只需要考虑整数倍频率的三角函数，而不需要考虑任意倍数的三角函数。

更进一步，我们能不能在正弦和余弦之间只保留一个呢？还真行，因为：

$a_ksin(\frac{2\pi k}{T}t)+b_kcos(\frac{2\pi k}{T}t)$ (2)

$=\sqrt{a_k^2+b_k^2}\times (\frac{a_k}{\sqrt{a_k^2+b_k^2}}sin(\frac{2\pi k}{T}t)+\frac{b_k}{\sqrt{a_k^2+b_k^2}}cos(\frac{2\pi k}{T}t))$

$=r_k\times sin(\frac{2\pi k}{T}t+\alpha_k)$

其中 $r_k=\sqrt{a_k^2+b_k^2}$ ， $\alpha_k= arctan(b_k, a_k)$ 。值得注意的是，这个转换在 $a_k$ 或 $b_k$ 等于0或者都等于0时仍然成立。

因此，我们只需要正弦函数就能够拟合任意周期函数。其中参数 $r_k$ 和 $\alpha_k$ 分别被称为正弦函数的振幅和偏移。也就是说，虽然三角函数少了一个，但参数数量并没有增加。

类似地，我们可以很容易地把公式(2)转换为一个具有振幅和偏移的余弦函数。我们把这两种变换分别称为正弦傅立叶变换和余弦傅立叶变换。

正弦和余弦傅立叶变换意味着什么

再来看看下面两个公式，告诉我，你会想到什么？

$r_k\times cos(\frac{2\pi k}{T}t+\alpha_k)$ （3）

$r_k\times sin(\frac{2\pi k}{T}t+\alpha_k)$ （4）

没错，我们会想到点的极坐标。 $r_k$ 就是旋转半径的长度， $t$ 是旋转时间。 $\frac{2\pi k}{T}$ 是角速度，是一个常量。 $\alpha_k$ 则是旋转起始角度。公式（3）和（4）可以用来分别计算直角坐标系下点的横坐标和纵坐标。

总结一下，我们得到以下两个公式：

$f_x(t)=a_0^x+\sum_{k=1}^{n} r_k^x\times cos(\frac{2\pi k}{T}t+\alpha_k^x)$ (5)

$f_y(t)=a_0^y+\sum_{k=1}^{n} r_k^y\times sin(\frac{2\pi k}{T}t+\alpha_k^y)$ (6)

其中函数 $f_x$ 和 $f_y$ 分别用来计算点的横、纵坐标。 $t$ 的取值范围是[0, T]。

应用

公式（5）和（6）提示我们：直角坐标系下，在一幅由一定顺序的点组成的图像中，每个点的横、纵坐标可以分开来计算，互不干扰。并且，每一个这样的坐标——不管是横坐标还是纵坐标——都可以转化为一组固定的半径和起始角度的组合，即 $r_k$ 和 $\alpha_k$ 。每一对半径和起始角度又对应了一个以整数倍频率旋转着的圆。把这些圆的圆心按频率从低到高首尾相连，就可以构成一幅有趣的动画，该动画不仅重现了原图像，更揭示了傅立叶变换的本质。

根据这个想法，我们用Python写了一些程序，利用快速傅立叶变换（参见函数numpy.fft.fft）、OpenCV（参见包cv2）和图像io（参见包imageio）实现了一些有趣的动画，能够绘画出我们事先指定的图像。结果如下。