70 爬楼梯 (进阶)
爬楼梯问题在我们刚开始学习动态规划的时候作为入门的问题。当时题目考虑的是1或2种走法。如果将能走的台阶设为M,则能产生进阶的题目。通过求解完全背包问题得到。
题目如下:
题目页面
如果最多能走m个台阶,那么1,2,...,m种走法就是物品,走到楼顶就是背包。因为先走5再走1和先走1再走5是不一样的,因此这道题是排列问题,所以背包容量要放在循环外面。
- 递归公式 dp[i] += dp[i - j]
代码如下:
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {int n, m;while (cin >> n >> m) {vector<int> dp(n + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];}}cout << dp[n] << endl;}
}
Leetcode: 322 零钱兑换
基本规律
如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品。
基本思路
1、确定下标
dp[i]表示凑足总额为i所需钱币的最少个数为dp[j]
2、递推公式
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]],那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1,所以dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
3、初始化
考虑到递推公式的特性,dp[j]必须初始化为一个最大的数,否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
这里涉及到一个代码的写法
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
4、循环逻辑
因为本题寻找的是最小,所以无关物品和背包的关系,为了代码好写,选择了外层for循环遍历物品,内层for遍历背包。
时间复杂度: O(n * amount)
空间复杂度: O(amount)
代码如下:
class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for(int i = 0; i < coins.size(); i++){for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){if(dp[j - coins[i]] != INT_MAX){dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);}}}if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;return dp[amount];}
};
Leetcode: 279 完全平方数
1、下标和含义
dp[j]:和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
2、递推公式
和上题基本一样,只不过物品变成了平方数。
3、遍历顺序
遍历背包和物品都可以。
class Solution {
public:int numSquares(int n) {vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for(int j = 0; j <= n; j++){//遍历背包for(int i = 1; i*i <= j; i++){//遍历物品,注意当小于背包容量的时候停止dp[j] = min(dp[j - i*i] + 1, dp[j]);}}return dp[n];}
};
代码随想录