回归预测模型:MATLAB多项式回归

1. 多项式回归模型的基本原理

  多项式回归是线性回归的一种扩展,用于分析自变量 X X X与因变量 Y Y Y之间的非线性关系。与简单的线性回归模型不同,多项式回归模型通过引入自变量的高次项来增加模型的复杂度,从而能够拟合数据中的非线性模式。多项式回归模型可以表示为:

Y = β 0 + β 1 X + β 2 X 2 + . . . + β n X n + ϵ Y = \beta_0 + \beta_1X + \beta_2X^2 + ... + \beta_nX^n + \epsilon Y=β0+β1X+β2X2+...+βnXn+ϵ

其中, Y Y Y是因变量, X X X是自变量, β 0 , β 1 , . . . , β n \beta_0, \beta_1, ..., \beta_n β0,β1,...,βn是回归系数, n n n是多项式的最高次数, ϵ \epsilon ϵ是误差项。

2. MATLAB中多项式回归的实现

  在MATLAB中,可以使用polyfit函数来拟合多项式回归模型。polyfit函数可以找到一个多项式的系数,使得该多项式最好地拟合一组数据。使用polyval函数,可以使用这些系数来计算或预测因变量的值。

3. 实例分析

  假设我们有一组数据,表示某一产品销量( Y Y Y)与其价格( X X X)之间的关系。我们想要建立一个多项式回归模型,来预测不同价格下的销量。

数据示例:

价格销量
10200
15150
20120
2590
3060

使用MATLAB进行多项式回归分析:

clc,clear
% 加载数据
X = [10, 15, 20, 25, 30, 35]; % 价格
Y = [200, 150, 120, 90, 60, 40]; % 销量% 进行多项式回归,选择二次多项式
p = polyfit(X, Y, 2);% 使用拟合的多项式模型计算销量预测值
X_fit = linspace(min(X), max(X), 100); % 生成更密集的价格数据用于绘图
Y_fit = polyval(p, X_fit);% 使用拟合的多项式模型计算销量预测值
Y_pred = polyval(p, X); % 使用原始X值计算预测值,用于误差分析% 计算MAE
MAE = mean(abs(Y - Y_pred));% 计算RMSE
RMSE = sqrt(mean((Y - Y_pred).^2));% 计算R^2
SS_res = sum((Y - Y_pred).^2);
SS_tot = sum((Y - mean(Y)).^2);
R2 = 1 - (SS_res / SS_tot);% 展示拟合参数和误差指标
disp('拟合参数(多项式系数):');
disp(p);
fprintf('MAE: %f\n', MAE);
fprintf('RMSE: %f\n', RMSE);
fprintf('R^2: %f\n', R2);% 绘制原始数据和拟合曲线
figure;
plot(X, Y, 'o', X_fit, Y_fit, '-');
title('价格与销量的多项式回归分析');
xlabel('价格');
ylabel('销量');
legend('原始数据', '拟合曲线', 'Location', 'NorthEast');

上述代码首先使用polyfit函数基于原始数据拟合了一个二次多项式模型,然后利用polyval函数计算了一系列预测值,以此来绘制回归曲线。这样可以直观地展示价格与销量之间的非线性关系及其趋势。

4. 求解结果

拟合多项式系数以及评价指标结果如下:

拟合结果图如下:

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