幻方（Magic Square）

幻方概述

什么是幻方呢？幻方（Magic Square）就是指在n×n（n行n列）的方格里填上一些连续的数字，使任意一行、任意一列和对角线上的数字的和都相等。例如有3×3的3行3列的幻方叫三阶幻方，4×4的4行4列的幻方叫四阶幻方，5×5的5行5列的幻方叫五阶幻方等等。

幻方最早记载于中国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明中国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。除了“河图”，中国古代还有“洛书”之说，相传在大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，背上有图有字，人们称之为“洛书”。

在幻方中每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个和称为“幻和”。

幻和 = 总数和 ÷ 阶数

奇数幻方中，中间数 = 幻和 ÷ 阶数

由1、2、3、……等连续自然数生成的幻方为基本幻方。在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成由零或负数组成的新幻方。也就是说，编排n阶幻方时，不一定非要从1开始，只要是这些数能构成等差数列就可以了。

一般我们把奇数×奇数的幻方叫奇阶幻方，偶数×偶数的幻方叫偶阶幻方，填奇阶幻方和偶阶幻方的有着不同的方法。

一、奇阶幻方通用构造方法

口诀（又称为罗伯法）：

一居上行正中央，

依次斜填切莫忘，

上出框界往下写，

右出框时左边放，

重复便在下格填，

出角重复一个样。

解释：

把1（或最小的数）放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：

1、每一个数放在前一个数的右上一格；

2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；

3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；

5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

三阶幻方为例子：

一居上行正中央——数字 1 放在首行最中间的格子中。如下图：

依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字。如下图：

上出框界往下写——如果出了上框边界，就将数字填在该列最下面空格里。如下图：

右出框时左边放——如果出了右框边界，就将数字填在该行最左空格里。如下图：

重复便在下格填——如果右上格子已填数字，就填在前一数字下面空格里。如下图：

出角重复一个样——如果朝右上角出框界，和“重复”的情况做同样处理。如下图：

最后8和9按照右出界、上出界的方法填写，如下图：

完成！

按照这种方式，完成后，做镜像或旋转对称，可得到实际相同的其他填法，如：

 

用该填法得到的5阶幻方：

7阶幻方：

二、偶数阶幻方

偶阶幻方的概念：一个n阶幻方，当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。

偶阶幻方分为双偶幻方和单偶幻方。当n可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶阶幻方，如8阶、12阶、16阶等；当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶阶幻方（即4M+2式幻方），如6阶、10阶、14阶等。偶数阶幻方的构造方法由此分为两类：双偶阶幻方和单偶阶幻方。

待续