【数据结构与算法】二叉树（Binary Tree）

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文章目录

1.树
- 1.1 树相关概念
- 1.2 举例树的应用
2. 二叉树
- 2.1 二叉树分类
- 2.2 特殊的二叉树
- 2.3 二叉树的存储结构
3. 二叉树实现与热门问题

1.树

树是一种非线性的数据结构，它看起来像一棵倒挂的树，根朝上而叶子朝下。下图是一棵二叉树，每个节点最多只有两个孩子节点。
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1.1 树相关概念

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根节点：如上图A节点就是根节点。
节点的度：一个节点含有的子树的个数，如上图A节点的度为6，F节点的度为3。
叶节点：度为0的节点，如上图B、C、H、I…等节点为叶节点。
父节点：也叫双亲节点，如上图E是I和J的父节点，其它节点同理。
子节点：也叫孩子节点，如上图B、C、D、E等是A的孩子节点。
兄弟节点：具有相同父节点的节点，如上图P、Q是兄弟节点。
树的度：最大的节点的度称为树的度，如上图树的度为6。
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。
树的高度或深度：树中节点的最大层次，如上图树的高度为4。
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林。

1.2 举例树的应用

Linux的文件系统：
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Windows的文件系统也是多叉树，和Linux文件系统不同的是Windows的文件系统可以是森林（至少分了两个盘）。

2. 二叉树

2.1 二叉树分类

普通的二叉树是没有意义的，存储数据并不比链表或数组好，真正让二叉树有意义的是二叉搜索树（又称二叉排序树或二叉查找树）、AVL树（平衡二叉树）、B树和红黑树。

二叉搜索树：简单地说就是左孩子节点比父节点小、右孩子节点比父节点大的树，二叉树的好处是遍历很快，从名字也能得出它是干嘛的。
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不过极端的二叉搜索树则会造成很多浪费，不仅树另一边节点存储无效的NULL值，最要命的是遍历的时间复杂度增高。

平衡二叉树二叉树可以解决二叉搜索树的缺点，是其升级版，另外还有B树、红黑树等，感兴趣的小伙伴自行了解或看我其它相关文章，否则本篇文章会占用大量篇幅。

2.2 特殊的二叉树

满二叉树：每层的节点都是满的。
完全二叉树：假设树的高度是h，前h-1层的节点都是满的，最后一层也就是h层的节点不一定满，但一定要是有序。满二叉树也是一种特殊的完全二叉树，另外堆（heap）也是完全二叉树，想了解的可以看这篇文章：堆（Heap）。

2.3 二叉树的存储结构

二叉树可以使用两种结构存储：顺序结构或链式结构，说白了就是数组或链表。

不过对于二叉树而言基本都是用链表存储，因为用数组存储二叉树会浪费很多空间，而极端的二叉树搜索树更甚。
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只有完全二叉树/完全二叉树/堆才适合用数组存储，其特性就决定了不会浪费数组空间，为什么非完全二叉树用数组存储会浪费内存空间，而完全二叉树不会，具体了解请看文章：堆（Heap）。

C语言表示二叉树的结构：

typedef int valtype;
typedef struct TreeNode {valtype val;struct TreeNode* left;struct TreeNode* right;
} TreeNode;

3. 二叉树实现与热门问题

由于普通的二叉树插入删除操作都是没有意义的，所以这里不实现这种操作；另外由于二叉树通常使用链式存储，所以很多操作都是通过递归实现。

申明：

#pragma once#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>typedef int valtype;
typedef struct TreeNode {valtype val;struct TreeNode* left;struct TreeNode* right;
} TreeNode;TreeNode* NewNode(valtype val);// 前、中、后序遍历
void PreOrder(TreeNode* root);
void InOrder(TreeNode* root);
void PostOrder(TreeNode* root);// 树节点个数
size_t TreeSize(TreeNode* root);
// 叶子节点个数
size_t TreeLeafSize(TreeNode* root);
// 树高度/深度
size_t TreeHeight(TreeNode* root);
// 第k层节点个数
size_t TreeKthSize(TreeNode* root, int k);

实现：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include "BinaryTree.h"TreeNode* NewNode(valtype val) {TreeNode* treeNode = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));if (treeNode == NULL) {perror("BuyNode malloc failed.\n");exit(-1);}treeNode->val = val;treeNode->left = NULL;treeNode->right = NULL;return treeNode;
}void PreOrder(TreeNode* root) {if (root != NULL) {printf("%d ", root->val);PreOrder(root->left);PreOrder(root->right);}
}void InOrder(TreeNode* root) {if (root != NULL) {InOrder(root->left);printf("%d ", root->val);InOrder(root->right);}
}void PostOrder(TreeNode* root) {if (root != NULL) {PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->val);}
}size_t TreeSize(TreeNode* root) {return root == NULL // 本身 + 左子树 + 右子树节点之和? 0 : 1 + TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right);
}size_t TreeLeafSize(TreeNode* root) {if (root == NULL) {return 0;}// 非叶子结点的左子树和右子树的叶子节点之和return root->left == NULL && root->right == NULL? 1 : TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}size_t TreeHeight(TreeNode* root) {if (root == NULL) {return 0;}// 选出左子树和右子树中较高的树 + 根节点本身高度return max(TreeHeight(root->left), TreeHeight(root->right)) + 1;//size_t left = TreeHeight(root->left);//size_t right = TreeHeight(root->right);//return (left > right ? left : right) + 1; 
}size_t TreeKthSize(TreeNode* root, int k) {if (root == NULL || k < 1) {return 0;}else if (k == 1) { return 1; // 第k层}else { // k > 1 向下走直到来到第k层return TreeKthSize(root->left, k-1) + TreeKthSize(root->right, k-1);}
}

测试：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include "BinaryTree.h"static void BuildTree(TreeNode* root);int main() {TreeNode root; BuildTree(&root);PreOrder(&root);printf("\n");InOrder(&root);printf("\n");PostOrder(&root);printf("\n");printf("TreeSize = %zd\n", TreeSize(&root));printf("TreeLeafSize = %zd\n", TreeLeafSize(&root));printf("TreeHeight = %zd\n", TreeHeight(&root));printf("TreeKthSize = %zd\n", TreeKthSize(&root, 3));return 0;
}static void BuildTree(TreeNode* root) {TreeNode* node2 = NewNode(2);TreeNode* node3 = NewNode(3);TreeNode* node4 = NewNode(4);TreeNode* node5 = NewNode(5);TreeNode* node6 = NewNode(6);TreeNode* node7 = NewNode(7);root->val = 1;root->left = node2;root->right = node4;node2->left = node3;node2->right = node7;node4->left = node5;node4->right = node6;
}