【本节目标】
- 掌握树的基本概念
- 掌握二叉树概念及特性
- 掌握二叉树的基本操作
- 完成二叉树相关的面试题练习
树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:
有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点
除根结点外,其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm,其中每一个集合 Ti (1 <= i
<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继树是递归定义的。
注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构
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结点的度:一个结点含有子树的个数称为该结点的度; 如上图:A的度为6 树的度:一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度; 如上图:树的度为6
叶子结点或终端结点:度为0的结点称为叶结点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶结点
双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图:A是B的父结点
孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图:B是A的孩子结点根结点:一棵树中,没有双亲结点的结点;如上图:A
结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推树的高度或深度:树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为4
树的以下概念只需了解,在看书时只要知道是什么意思即可:
非终端结点或分支结点:度不为0的结点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支结点兄弟结点:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图:B、C是兄弟结点
堂兄弟结点:双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟结点
结点的祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图:A是所有结点的祖先
子孙:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是A的子孙 森林:由m(m>=0)棵互不相交的树组成的集合称为森林
树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,实际中树有很多种表示方式,如:双亲表示法, 孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
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文件系统管理(目录和文件)
一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:
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- 或者为空
- 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
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从上图可以看出:
- 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树
注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:
大自然的奇观:
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若i>0,双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点 若2i+1<n,左孩子序号:2i+1,否则无左孩子
若2i+2<n,右孩子序号:2i+2,否则无右孩子
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二叉树的存储结构分为:顺序存储和类似于链表的链式存储。顺序存储在下节介绍。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的,常见的表示方式有二叉和三叉表示方式,具体如下:
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孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍,本文采用孩子表示法来构建二叉树。
在学习二叉树的基本操作前,需先要创建一棵二叉树,然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结 构掌握还不够深入,为了降低大家学习成本,此处手动快速创建一棵简单的二叉树,快速进入二叉树操作学习,等 二叉树结构了解的差不多时,我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。
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注意:上述代码并不是创建二叉树的方式,真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。 再看二叉树基本操作前,再回顾下二叉树的概念,二叉树是:
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- 空树
- 非空:根节点,根节点的左子树、根节点的右子树组成的。
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从概念中可以看出,二叉树定义是递归式的,因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
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在遍历二叉树时,如果没有进行某种约定,每个人都按照自己的方式遍历,得出的结果就比较混乱,如果按 照某种规则进行约定,则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点,L代表根节点的 左子树,R代表根节点的右子树,则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式:
NLR:前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。LNR:中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。LRN:后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。
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下面主要分析前序递归遍历,中序与后序图解类似,同学们可自己动手绘制。
前序遍历结果:1 2 3 4 5 6
中序遍历结果:3 2 1 5 4 6
后序遍历结果:3 1 5 6 4 1
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- 层序遍历
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【练习】请同学们根据以上二叉树的三种遍历方式,给出以下二叉树的: