浅谈连续逆F类的基础理论

各种逆类型的功放好像都少引人关注，因为很多人学完正的连续B/J类和连续F类，想当然的类推到了连续逆F类上面去。貌似连续逆F类就是连续F类的电压电流交换一下而已，无需额外的注意，实际并非那么简单的。

1、连续逆F类的波形

貌似连续逆F类就是连续F类的电压电流交换一下而已，实际并非那么简单，对于功率放大器，电流和电压波形都有着不同的约束条件。一般来说，我们十分熟悉连续F类的波形表达式(The continuous class-f mode power amplifier)：
$$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}{V}_{CF}& ={\left(1-\frac{2}{\sqrt{3}}\cos \theta \right)}^2\cdot \left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\cos \theta \right)\cdot (1-\gamma \sin \theta )\end{array}\\ & \begin{array}{rl}{I}_{CF}& =\frac{1}{\pi }+\frac{1}{2}\cos \theta +\frac{2}{3\pi }\cos (2\theta )\end{array}\end{array}$$
画出来一个特例，此处选F类画出来：

对于这样的波形，其电压、电流都有一定的特点。
1、电压波形必须大于等于0，这是由于晶体管的固有限制
2、电流波形一般可以小于0
3、F类电流波形应为理想的峰值归一化半正弦波，其峰值为1、最小值为0；但是由于此处考虑到三次谐波，峰值略大于1，最小值略小于0。
使用代码观察连续F类的特点：

v_CF=(1-2/sqrt(3)*cosd(theta)).^2.*(1+1/sqrt(3)*cosd(theta));
i_CF=1/pi+1/2*cosd(theta)+2/(3*pi)*cosd(2*theta);
figure
plot(theta,v_CF)
hold on
plot(theta,i_CF)
legend('v','i')
title('Class-F')
disp(['三次谐波C-F类电压最小值为',num2str(min(v_CF))])
disp(['三次谐波C-F类电流最小值为',num2str(min(i_CF))])
disp(['三次谐波C-F类电流最大值为',num2str(max(i_CF))])

那么显然，连续逆F无法简单使用连续F类的电流波形作为其电压波形，因为PA的电压波形一定要大于0的。事实上，逆F自从提出时就有自己的电压电流公式(Exploring the Design Space for Broadband PAs using the Novel “Continuous Inverse Class-F Mode”、“Design of Broadband Highly Efficient Harmonic-Tuned Power Amplifier Using In-Band Continuous Class-F F-1 Mode Transferring” )：

连续逆F是在其基础上乘以了一个连续因子：

因此，连续逆F类的电压波形不是连续F类的电流波形，连续逆F类的电流波形也不是连续F类的电压波形，大家需要进行区分。当然，逆F的电压波形也满足最小值大于等于0的条件，可以使用下面代码进行验证：

theta=0:1:719;
iDC=0.37;i1=0.43;i2=0;i3=0.06;
deta=-1:0.2:1;for ind=1:1:length(deta)i_IF(ind,:)=(iDC-i1*cosd(theta)+i2*cosd(2*theta)+i3*cosd(3*theta)).*(1-deta(ind)*sind(theta));
end
v_IF=1+2/sqrt(2)*cosd(theta)+1/2*cosd(2*theta);
eta=2*i1*2/sqrt(2)/(2*iDC*2);disp(['三次谐波C-IF类电压最小值为',num2str(min(v_IF'))])
disp(['三次谐波C-IF类电流最小值为',num2str(min(i_IF'))])
disp(['三次谐波C-IF类电流最大值为',num2str(max(i_IF'))])

2、连续逆F类和最佳B类阻抗Ropt的复杂关联

大家在研究各种功放模式的时候一定避不开最佳基本阻抗Ropt，实际上这是管子工作在B类饱和时的最佳阻抗，一般选这个作为参考标准，Ropt的计算公式为：
$$R_{\mathrm{opt}}=\frac{V_{\mathrm{dc}}-V_{\mathrm{knee}}}{\frac{I_{\mathrm{peak}}}{2}}$$
为什么要使用这个参考呢，其中的重要因素在于$I_{\mathrm{peak}}$，是为了让晶体管工作在电流饱和的状态，使得电流达到晶体管的标称峰值。为了方便计算各种模式关于Ropt的阻抗，经常对电流使用峰值归一化，如B类、F类等等，他们的电流的直流分量不是1，但是峰值是1。
例如C-B/J类的：
$$\begin{array}{rl}& I_B(\theta )=I_J(\theta )=\frac{1}{\pi }+\frac{1}{2}\cos (\theta )+\frac{2}{3\pi }\cos (2\theta )\\ & V_B(\theta )=(1-\cos (\theta ))\end{array}$$

那么对于连续逆F类，其如何使用最佳基波阻抗Ropt（或其倒数Gopt）对其进行表述呢？一个大的问题是其电流波形的峰值并不固定：

实际上，作者在提出逆F的时候就考虑了这一点，因此连续逆F类的电流波形的峰值是在1附近波动，而不是强行峰值归一化到1，这也是无奈之举，谁叫拓展的就是电流呢。。。

使用Matlab编程也可以得到其电流峰值随自由因子的变化关系：

很巧，如果对各个自由度下的电流波形的最大值求均值，那么结果约等于1，这也是连续逆F类的电流波形系数确定的原因之一。

结论就是，虽然连续逆F类电流波形峰值变化，但是其均值是在1附近，因此直接使用原式子进行计算Gopt的系数即可（默认已经电流峰值归一化了）。上面的画图和数据显示代码：

close all
clear
clctheta=0:1:719;
iDC=0.37;i1=0.43;i2=0;i3=0.06;
deta=-1:0.2:1;for ind=1:1:length(deta)i_IF(ind,:)=(iDC-i1*cosd(theta)+i2*cosd(2*theta)+i3*cosd(3*theta)).*(1-deta(ind)*sind(theta));
end
v_IF=1+2/sqrt(2)*cosd(theta)+1/2*cosd(2*theta);
eta=2*i1*2/sqrt(2)/(2*iDC*2);disp(['三次谐波C-IF类电压最小值为',num2str(min(v_IF'))])
disp(['三次谐波C-IF类电流最小值为',num2str(min(i_IF'))])
disp(['三次谐波C-IF类电流最大值为',num2str(max(i_IF'))])
disp(['IF的效率',num2str(eta)])figure
plot(theta,v_IF)
hold on
plot(theta,i_IF)
legend('v');
title('Class-IF')

众所周知，连续逆F类的基波阻抗空间的导纳不变，使用Gopt进行表述：
$$\{\begin{array}{l}{Y}_{1f,C-F^{-1}}=\left(0.43\sqrt{2}+j0.37\sqrt{2}\gamma \right)G_{opt}\\ Y_{2f,C-F^{-1}}=-j0.98\sqrt{2}\gamma G_{opt}\\ Y_{3f;C-F^{-1}}=\infty \\ G_{opt}=1/R_{opt}\end{array}$$
在归一化导纳为Gopt的图中，其曲线为：

3、同输出功率下的连续逆F类(在中心处)和B类阻抗关系

Continuous Class-J/F−1 Mode Asymmetrical Doherty Power Amplifier With Extended Bandwidth and Enhanced Efficiency中有这么一个式子：

就是如果要输出同样的功率，逆F类的阻抗要是B类的两倍。当时一直不清楚如何得来。要假定输出同样的功率，我们可以先进行直流的归一化，这样可以让输入的功率相等。然后再次使用阻抗的计算公式进行计算：
$$Z_{1f}=-\frac{a_{V,1}+j{b}_{V,1}}{a_{I,1}+j{b}_{I,1}}$$
计算得出的B类直流归一化阻抗和逆F类直流归一化阻抗为（计算代码之后给出）：

但是，直流归一化下其输入功率相等，输出功率却不一致，B类效率为78.54%，但是逆F类的理论效率是81.85%。因此，如果要让B类输出与逆F类相同，其阻抗需要减少一定值，在原来的基础上乘以78.54/81.85即可，最终得到结果为：

可以看到，确实近似是两倍的关系。

也就是，如果连续逆F和连续B/J要输出同样的功率，其在Smith的曲线应该是这样的（中心阻抗差两倍，具体位置和直流量相关）：

代码：

close all
clear
clctheta=0:1:719;
iDC=0.37;i1=0.43;i2=0;i3=0.06;
deta=-1:0.2:1;for ind=1:1:length(deta)i_IF(ind,:)=(iDC-i1*cosd(theta)+i2*cosd(2*theta)+i3*cosd(3*theta)).*(1-deta(ind)*sind(theta));
end
v_IF=1+2/sqrt(2)*cosd(theta)+1/2*cosd(2*theta);
eta=2*i1*2/sqrt(2)/(2*iDC*2);disp(['三次谐波C-IF类电压最小值为',num2str(min(v_IF'))])
disp(['三次谐波C-IF类电流最小值为',num2str(min(i_IF'))])
disp(['三次谐波C-IF类电流最大值为',num2str(max(i_IF'))])
disp(['IF的效率',num2str(eta)])figure
plot(theta,v_IF)
hold on
plot(theta,i_IF)
legend('v');
title('Class-IF')i_B=1/pi+1/2*cosd(theta)+2/(3*pi)*cosd(2*theta);
v_B=1-cosd(theta);
figure
plot(theta,v_B)
hold on
plot(theta,i_B)
legend('v','i')
title('Class-B')disp(['IF的Ropt阻抗系数',num2str(2/sqrt(2)/i1)])
disp(['B的Ropt阻抗系数',num2str(1/(1/2))])disp(['IF的直流归一化Rdc阻抗系数',num2str(iDC*2/sqrt(2)/i1)])
disp(['B的直流归一化Rdc阻抗系数',num2str(1/(pi/2))])disp(['同功率输出下B类系数',num2str(pi/4/eta/(pi/2))])