● 理论基础
DP大约五种问题:
动规基础(斐波那契数列、爬楼梯);背包问题;股票问题;打家劫舍;子序列问题。
要搞清楚:
- DP数组及其下标的含义;
- DP数组如何初始化;
- 递推公式;
- 遍历顺序;
- 打印DP数组;
无论难易,动态规划都可以用这5步来深入理解,即动规五部曲。因为对于动规,如果没有方法论的话,可能简单题目可以顺手一写就过,难一点就不知道如何下手了。
● 509. 斐波那契数
简单题也养成五部曲的习惯。
DP数组及其下标的含义:dp[i]是第i个斐波那契数。
DP数组如何初始化(dp[0]=0;dp[1]=1)、递推公式(dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2])、遍历顺序(一层for循环,是从小到大递推所以从小到大遍历)、打印DP数组(设置n为一个不太大的数打印序列来检查正确性)这些都是直接能知道的。
代码如下:注意是返回dp[n]不是dp[n-1],所以一开始数组大小得是n+1个。
class Solution {
public:int fib(int n) {if(n==0)return 0;vector<int> dp(n+1);dp[0]=0;dp[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i){dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];}return dp[n];}
};
● 70. 爬楼梯
n=1,2,3,4的方法数依次是1,2,3,5(全是1步1种,一个2步3种,2个2步1种),找规律发现还是一个斐波那契额数列。所以五部曲跟上一题相同。注意dp数组初始化的元素个数和返回的下标。
class Solution {
public:int climbStairs(int n) {if(n==1)return 1;vector<int> dp(n);dp[0]=1;dp[1]=2;//初始化,下标0是n=1for(int i=2;i<n;++i){dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];}return dp[n-1];}
};
● 746. 使用最小花费爬楼梯
DP数组及其下标的含义:dp[i]是从底部(注意从0/从1开始都可以)到第i层的最低花费。要返回的还是dp数组最后一个数dp[n]。
DP数组如何初始化:dp[0]=0,dp[1]=0(也是0,因为可以从1开始);
递推公式:递推公式是要从之前的dp序列得到dp[i],所以我们要立足下标i,根据题目意思,要想到达i,有两种选择:上一节台阶跨一步,上上一节台阶跨两步。取决于两种情况哪一种花费更低,所以用min:dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])。
遍历顺序:仍然是从小到大;
打印DP数组:
发现数组下标含义、初始化、递推都是要仔细思考的,要做到一致统一。
class Solution {
public:int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {if(cost.size()==1)return cost[0];int n=cost.size();vector<int> dp(n+1);dp[0]=0;//初始化dp[1]=0;for(int i=2;i<=n;++i){dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);cout<<dp[i]<<" ";//打印检查}return dp[n];//底部到n个台阶的时间}
};