377 组合总和IV
给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组,找出和为给定目标正整数的组合的个数。
示例:
- nums = [1, 2, 3]
- target = 4
所有可能的组合为: (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1)
请注意,顺序不同的序列被视作不同的组合。
因此输出为 7。
本题是排列问题:先遍历背包再遍历物品:
class Solution {
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<int> dp(target + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {dp[i] += dp[i - nums[j]];}}}return dp[target];}
};
70 爬楼梯(进阶版)
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?
注意:给定 n 是一个正整数。
输入描述:输入共一行,包含两个正整数,分别表示n, m
输出描述:输出一个整数,表示爬到楼顶的方法数。
输入示例:3 2
输出示例:3
提示:
当 m = 2,n = 3 时,n = 3 这表示一共有三个台阶,m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。
此时你有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶段
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶
-
动规五部曲分析如下:
- 确定dp数组以及下标的含义
-
dp[i]:爬到有i个台阶的楼顶,有dp[i]种方法。
- 确定递推公式
-
在动态规划:494.目标和 (opens new window)、 动态规划:518.零钱兑换II (opens new window)、动态规划:377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)中我们都讲过了,求装满背包有几种方法,递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
本题呢,dp[i]有几种来源,dp[i - 1],dp[i - 2],dp[i - 3] 等等,即:dp[i - j]
那么递推公式为:dp[i] += dp[i - j]
- dp数组如何初始化
-
既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j],那么dp[0] 一定为1,dp[0]是递归中一切数值的基础所在,如果dp[0]是0的话,其他数值都是0了。
下标非0的dp[i]初始化为0,因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的,dp[i]本身为0这样才不会影响结果
- 确定遍历顺序
-
这是背包里求排列问题,即:1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶,但是这两种方法不一样!
所以需将target放在外循环,将nums放在内循环。
每一步可以走多次,这是完全背包,内循环需要从前向后遍历。
- 举例来推导dp数组
-
介于本题和动态规划:377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)几乎是一样的,这里我就不再重复举例了。
以上分析完毕,C++代码如下:
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() {int n, m;while (cin >> n >> m) {vector<int> dp(n + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];}}cout << dp[n] << endl;} }
322 零钱兑换
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1:
- 输入:coins = [1, 2, 5], amount = 11
- 输出:3
- 解释:11 = 5 + 5 + 1
递推公式可以参考前面拿到一和零的题,同时,里面的这个if是为了防止INT_MAX溢出,如果不想加,初始设定时所有非零下标都设定为INTMAX-1即可就不会溢出了:
class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);}}}if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;return dp[amount];}
};
279 完全平方数
给定正整数 n,找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, ...)使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
给你一个整数 n ,返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。
完全平方数 是一个整数,其值等于另一个整数的平方;换句话说,其值等于一个整数自乘的积。例如,1、4、9 和 16 都是完全平方数,而 3 和 11 不是。
class Solution {
public:int numSquares(int n) {vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍历物品for (int j = i * i; j <= n; j++) { // 遍历背包dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);}}return dp[n];}
};
139 单词拆分
给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词的列表 wordDict,判定 s 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词。
说明:
拆分时可以重复使用字典中的单词。
你可以假设字典中没有重复的单词。
示例 1:
- 输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"]
- 输出: true
- 解释: 返回 true 因为 "leetcode" 可以被拆分成 "leet code"。
dp数组表示dp[i] : 字符串长度为i的话,dp[i]为true,表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词。
如果确定dp[j] 是true,且 [j, i] 这个区间的子串出现在字典里,那么dp[i]一定是true。(j < i )。
所以递推公式是 if([j, i] 这个区间的子串出现在字典里 && dp[j]是true) 那么 dp[i] = true。
class Solution {
public:bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());vector<bool> dp(s.size() + 1, false);dp[0] = true;for (int i = 1; i <= s.size(); i++) { // 遍历背包for (int j = 0; j < i; j++) { // 遍历物品string word = s.substr(j, i - j); //substr(起始位置,截取的个数)//如果前面一段可以完全表达,并且i-j这一段也可以,则这段也是true if (wordSet.find(word) != wordSet.end() && dp[j]) {dp[i] = true;}}}return dp[s.size()];}
};