[CSP-S 2022] 策略游戏

题目描述

小 L 和小 Q 在玩一个策略游戏。

有一个长度为 $n$ 的数组 $A$ 和一个长度为 $m$ 的数组 $B$，在此基础上定义一个大小为 $n\times m$ 的矩阵 $C$，满足 $C_{ij}=A_i\times B_j$。所有下标均从 $1$ 开始。

游戏一共会进行 $q$ 轮，在每一轮游戏中，会事先给出 $4$ 个参数 $l_1,r_1,l_2,r_2$，满足 $1\le l_1\le r_1\le n$、$1\le l_2\le r_2\le m$。

游戏中，小 L 先选择一个 $l_1\sim r_1$ 之间的下标 $x$，然后小 Q 选择一个 $l_2\sim r_2$ 之间的下标 $y$。定义这一轮游戏中二人的得分是 $C_{xy}$。

小 L 的目标是使得这个得分尽可能大，小 Q 的目标是使得这个得分尽可能小。同时两人都是足够聪明的玩家，每次都会采用最优的策略。

请问：按照二人的最优策略，每轮游戏的得分分别是多少？

输入格式

第一行输入三个正整数 $n,m,q$，分别表示数组 $A$，数组 $B$ 的长度和游戏轮数。

第二行：$n$ 个整数，表示 $A_i$，分别表示数组 $A$ 的元素。

第三行：$m$ 个整数，表示 $B_i$，分别表示数组 $B$ 的元素。

接下来 $q$ 行，每行四个正整数，表示这一次游戏的 $l_1,r_1,l_2,r_2$。

输出格式

输出共 $q$ 行，每行一个整数，分别表示每一轮游戏中，小 L 和小 Q 在最优策略下的得分。

样例 #1

样例输入 #1

3 2 2
0 1 -2
-3 4
1 3 1 2
2 3 2 2

样例输出 #1

0
4

样例 #2

样例输入 #2

6 4 5
3 -1 -2 1 2 0
1 2 -1 -3
1 6 1 4
1 5 1 4
1 4 1 2
2 6 3 4
2 5 2 3

样例输出 #2

0
-2
3
2
-1

提示

【样例解释 #1】

这组数据中，矩阵 $C$ 如下：

$$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ -3& 4\\ 6& -8\end{array}\right]$$

在第一轮游戏中，无论小 L 选取的是 $x=2$ 还是 $x=3$，小 Q 都有办法选择某个 $y$ 使得最终的得分为负数。因此小 L 选择 $x=1$ 是最优的，因为这样得分一定为 $0$。

而在第二轮游戏中，由于小 L 可以选 $x=2$，小 Q 只能选 $y=2$，如此得分为 $4$。

【样例 #3】

见附件中的 game/game3.in 与 game/game3.ans。

【样例 #4】

见附件中的 game/game4.in 与 game/game4.ans。

【数据范围】

对于所有数据，$1\le n,m,q\le {10}^5$，$-{10}^9\le A_i,B_i\le {10}^9$。对于每轮游戏而言，$1\le l_1\le r_1\le n$，$1\le l_2\le r_2\le m$。

测试点编号	$n,m,q\le$	特殊条件
$1$	$200$	1, 2
$2$	$200$	1
$3$	$200$	2
$4\sim 5$	$200$	无
$6$	$1000$	1, 2
$7\sim 8$	$1000$	1
$9\sim 10$	$1000$	2
$11\sim 12$	$1000$	无
$13$	${10}^5$	1, 2
$14\sim 15$	${10}^5$	1
$16\sim 17$	${10}^5$	2
$18\sim 20$	${10}^5$	无

其中，特殊性质 1 为：保证 $A_i,B_i>0$。
特殊性质 2 为：保证对于每轮游戏而言，要么 $l_1=r_1$，要么 $l_2=r_2$。

前置题目ST表

ST表模板

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long int
using namespace std;
const int N=2e5+123;
int n,m;
int a[N],rmax[N][27];
void rmq(){for(int i=1;(1<<i)<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){rmax[j][i]=max(rmax[j][i-1],rmax[j+(1<<(i-1))][i-1]);}}
}
int query(int l,int r){int k=log2(r-l+1);return max(rmax[l][k],rmax[r-(1<<k)+1][k]);
}
signed main(){scanf("%lld%lld",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);rmax[i][0]=a[i];}rmq();for(int i=1,l,r;i<=m;i++){scanf("%lld%lld",&l,&r);int k=query(l,r);printf("%lld\n",k);}return 0;
} 

大致思路

小 $L$ 和小 $Q$ 都会跟据对方的数字来选择自己的数字，且都很聪明，那么就可以有许多种情况
设小 $L$ 取出的为 $A$ ，小 $Q$ 取出的是 $B$

当$A=0$或$B=0$

无论谁取到了 $0$ ，无需讨论， $ans=0$

当$A>0$

若$B>0$,则$A$取$max$，$B$取$min$
若$B<0$,则$A$取$min$，$B$取$max$
且$B$能取到负值是一定会取负值！

当$A<0$

若$B>0$,则$A$取$max$，$B$取$max$
若$B<0$,则$A$取$min$，$B$取$min$
且$B$能取到正数$max$的值就一定会取正数$max$的值！

由此可见，我们只需要求出以下四个区间最值

• 非负最大值
• 非负最小值
• 非正数最大值
• 非正数最小值

一般来说，我们需要按照上面讨论的进行 $if$ 语句判断
但有一种逃课的思路
$ans$一定在四个最值的两两乘积之间
那么只需要枚举取$max$即可，总计$4\ast 4=16$次，不会超时

AC CODE

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m,q,a[100010],b[100010];
struct re{int a,b,c,d;
};
struct nod{int ST1[100010][20],ST2[100010][20],ST3[100010][20],ST4[100010][20];void bulid(int *p,int len){for(int i=1;i<=len;i++){ST1[i][0]=p[i];if(p[i]>=0){ST2[i][0]=p[i];}else{ST2[i][0]=2e9;}ST3[i][0]=p[i];if(p[i]>0){ST4[i][0]=-2e9;}else{ST4[i][0]=p[i];}}for(int j=1;j<=log2(len);j++){for(int i=1;i<=len-(1<<j)+1;i++){ST1[i][j]=min(ST1[i][j-1],ST1[i+(1<<(j-1))][j-1]);ST2[i][j]=min(ST2[i][j-1],ST2[i+(1<<(j-1))][j-1]);ST3[i][j]=max(ST3[i][j-1],ST3[i+(1<<(j-1))][j-1]);ST4[i][j]=max(ST4[i][j-1],ST4[i+(1<<(j-1))][j-1]);}}}re query(int l,int r){int len=r-l+1;int p=log2(len);int a=min(ST1[l][p],ST1[r-(1<<p)+1][p]);int b=min(ST2[l][p],ST2[r-(1<<p)+1][p]);int c=max(ST3[l][p],ST3[r-(1<<p)+1][p]);int d=max(ST4[l][p],ST4[r-(1<<p)+1][p]);return re{a,b,c,d};}
}ST1,ST2;
signed main(){scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&q);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);}for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%lld",&b[i]);}ST1.bulid(a,n);ST2.bulid(b,m);while(q--){int l1,r1,l2,r2;scanf("%lld%lld%lld%lld",&l1,&r1,&l2,&r2);re tmp1=ST1.query(l1,r1);re tmp2=ST2.query(l2,r2);int ans=max(min(tmp1.c*tmp2.a,tmp1.c*tmp2.c),min(tmp1.a*tmp2.c,tmp1.a*tmp2.a));if(tmp1.b<1e9){ans=max(ans,(int)tmp1.b*(int)tmp2.a);}if(tmp1.d>-1e9){ans=max(ans,(int)tmp1.d*(int)tmp2.c);}printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

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